[Manual] Considere a seguinte matriz:
Faça a fatoração
L U da mesma para resolver o sistema linear
A x=b onde
b=[ccc-13 & -6 & -6]^T .
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a matriz
e o vetor
Conteúdo: fatoração LU (Doolittle) e resolução de sistemas triangulares.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Decompor
em , onde é triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior. - Resolver
por substituição direta. - Resolver
por retrosubstituição.
Passo 2
Teoria da fatoração LU (método de Doolittle):
– Queremos encontrar L= 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U= u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 , e
tais que
– Queremos encontrar
de forma que
.
– A ideia é usar eliminações sucessivas:
– A ideia é usar eliminações sucessivas:
- Pivot em
para zerar abaixo dele (obtendo ). - Usar o segundo pivô para zerar abaixo (obtendo
). - O que sobra é
.
Passo 3
Vamos calcular
linha2>=tslinha2-tfrac32,linha1 ;Rightarrow; (0,;4.5,;7.5), e
linha3>=tslinha3-tfrac32,linha1 ;Rightarrow; (0,;4.5,;3.5) :
- Primeiro pivô
.linha3>=tslinha3-1cdotlinha2 ;Rightarrow; (0,;0,;-4)
U= 2 & -1 & 1 0 & 4.5 & 7.5 0 & 0 & -4 , L= 1 & 0 & 0 3/2 & 1 & 0 3/2 & 1 & 1
Eliminações: - Segundo pivô
.
Eliminação: - Os
restantes vêm das linhas ajustadas:
Passo 4
Resolver
y1 = -13, y2 = -6 - tfrac32,y1 = -6 - tfrac32cdot(-13) = -6 +19.5 =13.5, y3 = -6 - tfrac32,y1 - 1cdot y2 = -6 +19.5 -13.5 =0 (substituição direta):
Logo
Passo 5
Resolver
x3 = dfracy3u33 = dfrac0-4 = 0, x2 = dfracy2 - u23x3u22 = dfrac13.5 - 7.5cdot 04.5 = 3, x1 = dfracy1 - u12x2 - u13x3u11 = dfrac-13 -(-1)cdot3 - 1cdot02 = dfrac-13+32 = -5 (retrosubstituição):