[Manual] Resolva os sistemas pelo método da Eliminação de Gauss e em seguida fazendo substituição retroativa.
4 x1+x2+2 x3 & =9 2 x1+4 x2-x3 & =-5 x1+x2-3 x3 & =-9

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra resolver o sistema
4x1 + x2 + 2x3 = 9, 2x1 + 4x2 - x3 = -5, x1 + x2 - 3x3 = -9
usando o método da Eliminação de Gauss (que é basicamente montar a matriz aumentada e usar operações linha para zerar abaixo dos pivôs) e depois a substituição retroativa. A matéria aqui é Sistemas Lineares, mais especificamente:
  • Montar a matriz aumentada.
  • Operações elementares para chegar na forma escalonada.
  • Substituição retroativa para achar , e .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada:
[ccc|c 4 & 1 & 2 & 9 2 & 4 & -1 & -5 1 & 1 & -3 & -9 ]
Agora, vamos zerar os elementos abaixo de 4 (o pivô da primeira linha):
  • R2 ← R2 – (2/4)·R1 = R2 – ½R1
  • R3 ← R3 – (1/4)·R1 = R3 – ¼R1
Fazendo as contas:
R2 fica [ccc|c 4 & 1 & 2 & 9 0 & 3,5 & -2 & -9,5 0 & 0,75 & -3,5 & -11,25 ]
R3 fica
Então a matriz vira

Passo 3

Agora o pivô da segunda linha é 0,75 - tfrac314cdot3,5 = 0, -3,5 - tfrac314cdot(-2) = -tfrac4314, -11,25 - tfrac314cdot(-9,5) = -tfrac12914 . A gente zera só o elemento abaixo dele, na terceira linha:
  • R3 ← R3 – (0{,}75/3{,}5)·R2 = R3 – [0;;0;;-tfrac4314;|;-tfrac12914], R2
Calculando:
-4314,x3 = -12914Longrightarrow x3 = 3
Ou seja, a terceira linha fica
o que nos dá diretamente

Passo 4

Com 3,5,x2 - 2cdot3 = -9,5 Longrightarrow 3,5,x2 - 6 = -9,5 Longrightarrow 3,5,x2 = -3,5 Longrightarrow x2 = -1 em mãos, voltamos à segunda linha para achar 4x1 + x2 + 2x3 = 9 ;Longrightarrow; 4x1 -1 + 2cdot3 = 9 ;Longrightarrow; 4x1 +5 = 9 ;Longrightarrow; x1 = 1 :
Por fim, usamos a primeira equação pra :

Resposta

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