[Manual] Determine a fatoração da matriz seguinte:
lembrando que, neste caso, você verá obter também a matriz de permutação P tal que P A=L U.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede a fatoração LU com permutação (ou seja, achar P, L e U tais que P·A = L·U) da matriz
A = 0 & 2 & 3 1 & 1 & -1 0 & -1 & 1
Conteúdo: eliminação de Gauss com pivotamento parcial para evitar dividir por zero ou número muito pequeno. Vamos precisar:
montar a matriz de permutação P para trocar linhas quando o pivô for zero;
usar multiplicadores (m_ij) para zerar abaixo do pivô e montar L;
obter U como a forma triangular superior resultante.
Passo 2
Primeiro pivô seria o elemento (1,1) de A, mas A₁₁=0, então não dá para usar direto. Aí a gente aplica pivotamento parcial: procura, na coluna 1, a maior em valor absoluto nas linhas 1 a 3. É o elemento da linha 2, que vale 1. Então trocamos linha 1 ↔ linha 2. Isso equivale a multiplicar A por
P = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ,
e obtemos
P,A = 1 & 1 & -1 0 & 2 & 3 0 & -1 & 1
Explicando a teoria: pivôs são os elementos da diagonal que usamos para eliminar abaixo deles. Se o pivô for zero, precisamos trocar linhas (pivotamento) para continuar a eliminação.
Passo 3
Agora o pivô na posição (1,1) é 1. Queremos zerar as entradas abaixo (linhas 2 e 3, coluna 1).
Para zerar posição (2,1)=0, o multiplicador é m₂₁ = 0/1 = 0.
Para zerar posição (3,1)=0, m₃₁ = 0/1 = 0.
Esses mᵢ₁ viram os elementos L₂₁ e L₃₁. Como são zero, não alteram a segunda e terceira linhas de P A.
Até agora,