[Manual] Determine a fatoração L U da matriz seguinte:
A=[rrr 0 & 2 & 3 1 & 1 & -1 0 & -1 & 1 ]
lembrando que, neste caso, você verá obter também a matriz de permutação P tal que P A=L U.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a fatoração LU com permutação (ou seja, achar P, L e U tais que P·A = L·U) da matriz
A = 0 & 2 & 3 1 & 1 & -1 0 & -1 & 1
Conteúdo: eliminação de Gauss com pivotamento parcial para evitar dividir por zero ou número muito pequeno. Vamos precisar:
  • montar a matriz de permutação P para trocar linhas quando o pivô for zero;
  • usar multiplicadores (m_ij) para zerar abaixo do pivô e montar L;
  • obter U como a forma triangular superior resultante.

Passo 2

Primeiro pivô seria o elemento (1,1) de A, mas A₁₁=0, então não dá para usar direto. Aí a gente aplica pivotamento parcial: procura, na coluna 1, a maior em valor absoluto nas linhas 1 a 3. É o elemento da linha 2, que vale 1. Então trocamos linha 1 ↔ linha 2. Isso equivale a multiplicar A por
P = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ,
e obtemos
P,A = 1 & 1 & -1 0 & 2 & 3 0 & -1 & 1
Explicando a teoria: pivôs são os elementos da diagonal que usamos para eliminar abaixo deles. Se o pivô for zero, precisamos trocar linhas (pivotamento) para continuar a eliminação.

Passo 3

Agora o pivô na posição (1,1) é 1. Queremos zerar as entradas abaixo (linhas 2 e 3, coluna 1).
  • Para zerar posição (2,1)=0, o multiplicador é m₂₁ = 0/1 = 0.
  • Para zerar posição (3,1)=0, m₃₁ = 0/1 = 0.
    Esses mᵢ₁ viram os elementos L₂₁ e L₃₁. Como são zero, não alteram a segunda e terceira linhas de P A.
    Até agora,
U^(1) = 1 & 1 & -1 0 & 2 & 3 0 & -1 & 1 , L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 (diagonal = 1, e L21=L31=0)

Passo 4

Agora, foco na submatriz de linhas/colunas 2–3. O pivô é U^{(1)}{22} = 2 (já não é zero, então beleza). Queremos zerar U^{(1)}{32} = -1:
m32 = U^(1)32U^(1)22 = -12 = -tfrac12
Isso vira L_{32} = -½. Aplicamos à linha 3:
linha₃ ← linha₃ − m_{32}·linha₂
U33 &= 1 - l(-tfrac12r)cdot 3 = 1 + tfrac32 = tfrac52, e o (3,2) vira 0
Então no final
U = 1 & 1 & -1 0 & 2 & 3 0 & 0 & tfrac52 , L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -tfrac12 & 1

Resposta

P = 0&1&01&0&00&0&1, L = 1&0&00&1&00&-tfrac12&1, U = 1&1&-10&2&30&0&tfrac52

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