[Manual] Resolva os sistemas pelo método da Eliminação de Gauss e em seguida fazendo substituição retroativa.
2 x1+x2+x4 & =2 2 x1+x2-x3+x4 & =1 4 x1-x2-2 x3+2 x4 & =0 3 x1-x2-x3+2 x4 & =-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de 4 equações e 4 incógnitas usando o método da Eliminação de Gauss e depois a substituição retroativa.
Conteúdo: Álgebra Linear – método da Eliminação de Gauss.
O que a gente vai precisar:
  • Montar a matriz aumentada do sistema;
  • Fazer operações por linha para zerar as incógnitas de baixo para cima;
  • Chegar numa forma triangular “superior”;
  • Depois usar substituição de trás pra frente (retroativa) pra encontrar .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada 2x1 + x2 + x4 = 2, 2x1 + x2 - x3 + x4 = 1, 4x1 - x2 -2x3+2x4 = 0, 3x1 - x2 - x3+2x4 = -3 correspondente a
2 & 1 & 0 & 1 &vline& 2 2 & 1 & -1 & 1 &vline& 1 4 & -1 & -2 & 2 &vline& 0 3 & -1 & -1 & 2 &vline& -3
Isso dá
Agora zera 2 & 1 & 0 & 1 &vline& 2 0 & 0 & -1 & 0 &vline& -1 0 & -3 & -2 & 0 &vline& -4 0 & -tfrac52 & -1 & tfrac12 &vline& -6 nas linhas 2,3 e 4 subtraindo múltiplos da linha 1:
  • Linha2 L2 L1
  • Linha3 L3 L1
  • Linha4 L4 L1
O resultado é

Passo 3

A gente quer o próximo pivô em (2,2), mas note que a linha 2 já tem zero nessa coluna. Então trocamos Linha2 ↔ Linha3:
Agora eliminamos 2 & 1 & 0 & 1 &vline& 2 0 & -3 & -2 & 0 &vline& -4 0 & 0 & -1 & 0 &vline& -1 0 & -tfrac52 & -1 & tfrac12 &vline& -6 da Linha4 usando Linha2:
Linha4 2 & 1 & 0 & 1 &vline& 2 0 & -3 & -2 & 0 &vline& -4 0 & 0 & -1 & 0 &vline& -1 0 & 0 & tfrac23 & tfrac12 &vline& -tfrac83 L4 L2 = L4 L2.
Fica
Pronto, chegamos numa forma “triangular superior” (quase).

Passo 4

Agora traduzimos de volta em equações:
  1. ,
  2. ,
  3. ,
A gente resolve de baixo pra cima:
a) Da eq. (3): .
b) Da eq. (4):


Passo 5

Agora volta pra cima:
c) Da eq. (2):
d) Da eq. (1):

Resposta

boxedx1 = 4, x2 = tfrac23, x3 = 1, x4 = -tfrac203

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