Verifique se as iteradas de Jacobi aplicadas ao sistema linear
2 x1-x2+x3 & =-1 2 x1+2 x2+2 x3 & =4 -x1-x2+2 x3 & =-5
convergem. Para isto, calcule o raio expectral da matriz T, associada a este método.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é ver se o método de Jacobi vai convergir pra solução desse sistema linear:
2x1 - x2 + x3 = -1, 2x1 + 2x2 + 2x3 = 4, -,x1 - x2 + 2x3 = -5
Conteúdo: métodos iterativos (Jacobi) e critério de convergência via raio espectral.
O que precisamos:
  1. Escrever (com diagonal, estritamente triangular inferior, estritamente triangular superior).
  2. Montar a matriz de iteração .
  3. Calcular os autovalores de e daí o raio espectral .
  4. Concluímos convergência se .

Passo 2

Vamos identificar A = 2 & -1 & 1 2 & 2 & 2 -1 & -1 & 2 , 0&0&02&0&0-1&-1&0 e 0&-1&10&0&20&0&0 a partir de
  • tem só elementos abaixo da diagonal:
  • tem só acima da diagonal:

Passo 3

Em Jacobi a matriz de iteração é
T ;=;-D^-1(L+U)
Primeiro formamos 0 & -1 & 1 2 & 0 & 2 -1 & -1 & 0
Então
[
T = -\frac1{2} T = -12 0 & -1 & 1 2 & 0 & 2 -1 & -1 & 0 = 0 & tfrac12 & -tfrac12 -1 & 0 & -1 tfrac12 & tfrac12 & 0

.
]

Passo 4

Agora a gente calcula o polinômio característico de -lambda^3 - tfrac54,lambda ;=;0 Longrightarrow lambda,( lambda^2 + tfrac54)=0 e seus autovalores. Fazendo lambda1 = 0, lambda2,3 = pm,i,raiz52 (expansão por cofatores ou regra de Sarrus estendida), chega-se em
rho(T) ;=;maxl|lambdai|r ;=;raiz52approx1,118>1
Daí os autovalores são
O raio espectral é

Passo 5

Lembra do critério de convergência de Jacobi: ele converge se, e somente se, . Aqui a gente achou , ou seja, foge do limite.

Resposta

O raio espectral é . Logo, o método de Jacobi não converge para esse sistema.

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