Calcular os autovalores de e daí o raio espectral .
Concluímos convergência se .
Passo 2
Vamos identificar A = 2 & -1 & 1 2 & 2 & 2 -1 & -1 & 2 , 0&0&02&0&0-1&-1&0 e 0&-1&10&0&20&0&0 a partir de
tem só elementos abaixo da diagonal:
tem só acima da diagonal:
Passo 3
Em Jacobi a matriz de iteração é T ;=;-D^-1(L+U)
Primeiro formamos 0 & -1 & 1 2 & 0 & 2 -1 & -1 & 0
Então
[
T = -\frac1{2} T = -12 0 & -1 & 1 2 & 0 & 2 -1 & -1 & 0 = 0 & tfrac12 & -tfrac12 -1 & 0 & -1 tfrac12 & tfrac12 & 0
.
]
Passo 4
Agora a gente calcula o polinômio característico de -lambda^3 - tfrac54,lambda ;=;0 Longrightarrow lambda,( lambda^2 + tfrac54)=0 e seus autovalores. Fazendo lambda1 = 0, lambda2,3 = pm,i,raiz52 (expansão por cofatores ou regra de Sarrus estendida), chega-se em
rho(T) ;=;maxl|lambdai|r ;=;raiz52approx1,118>1
Daí os autovalores são
O raio espectral é
Passo 5
Lembra do critério de convergência de Jacobi: ele converge se, e somente se, . Aqui a gente achou , ou seja, foge do limite.
Resposta
O raio espectral é . Logo, o método de Jacobi não converge para esse sistema.