[Manual] Repita o exercício anterior mas para o Método de Gauss-Seidel. Meça o erro envolvido (|x^3-x^2|infty).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente repetir o exercício anterior usando o Método de Gauss-Seidel e, além disso, medir o erro envolvido, que é calculado como a norma infinito da diferença entre as soluções nas iterações 3 e 2, ou seja, |x^3-x^2|infty. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Gauss-Seidel e como calcular a norma infinito. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Gauss-Seidel. É um método iterativo usado para resolver sistemas de equações lineares da forma Ax = b. A ideia é começar com uma estimativa inicial para a solução x e, em cada iteração, atualizar cada componente de x usando os valores mais recentes disponíveis.

Passo 3

Para aplicar o Método de Gauss-Seidel, precisamos ter a matriz do sistema A e o vetor b. Como o enunciado não forneceu esses valores, vamos supor que já temos um sistema com eles definidos.
Por exemplo, suponha que temos o sistema:
a11x1 + a12x2 + dots + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + dots + a2nxn = b2 vdots an1x1 + an2x2 + dots + annxn = bn

Passo 4

Escolhemos uma estimativa inicial para x, digamos x^(0). Em cada iteração, atualizamos cada componente xi usando a fórmula:
xi^(k+1) = 1aii ( bi - sumj=1^i-1 aijxj^(k+1) - sumj=i+1^n aijxj^(k) )
Isso significa que usamos os valores mais recentes disponíveis para calcular cada nova componente.

Passo 5

Vamos supor que já realizamos as primeiras três iterações do método e obtivemos as soluções x^2 na segunda iteração e x^3 na terceira iteração. Nosso objetivo agora é calcular o erro entre essas duas iterações usando a norma infinito.
A norma infinito de um vetor v = (v1, v2, dots, vn) é definida como o maior valor absoluto entre seus componentes:
|v|infty = max1 <= i <= n |vi|

Passo 6

Agora, vamos calcular a diferença entre as soluções das iterações 3 e 2:
x^3 - x^2 = (x^31 - x^21, x^32 - x^22, dots, x^3n - x^2n)
Em seguida, aplicamos a norma infinito a esse vetor diferença:
|x^3 - x^2|infty = max1 <= i <= n |x^3i - x^2i|

Passo 7

Por fim, após calcularmos os valores de x^3i - x^2i para cada componente, identificamos qual deles tem o maior valor absoluto. Esse valor será o erro envolvido entre as iterações 3 e 2.

Resposta

O erro envolvido entre as iterações 3 e 2, calculado pela norma infinito, é igual a |x^3-x^2|infty, que corresponde ao maior valor absoluto das diferenças entre os componentes de x^3 e x^2.

Exercícios relacionados