[Manual] Repita o exercício anterior mas para o Método de Gauss-Seidel. Meça o erro envolvido .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente repetir o exercício anterior usando o Método de Gauss-Seidel e, além disso, medir o erro envolvido, que é calculado como a norma infinito da diferença entre as soluções nas iterações 3 e 2, ou seja, |x^3-x^2|infty. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Gauss-Seidel e como calcular a norma infinito. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Gauss-Seidel. É um método iterativo usado para resolver sistemas de equações lineares da forma Ax = b. A ideia é começar com uma estimativa inicial para a solução x e, em cada iteração, atualizar cada componente de x usando os valores mais recentes disponíveis.
Passo 3
Para aplicar o Método de Gauss-Seidel, precisamos ter a matriz do sistema A e o vetor b. Como o enunciado não forneceu esses valores, vamos supor que já temos um sistema com eles definidos.
Isso significa que usamos os valores mais recentes disponíveis para calcular cada nova componente.
Passo 5
Vamos supor que já realizamos as primeiras três iterações do método e obtivemos as soluções x^2 na segunda iteração e x^3 na terceira iteração. Nosso objetivo agora é calcular o erro entre essas duas iterações usando a norma infinito.
A norma infinito de um vetor v = (v1, v2, dots, vn) é definida como o maior valor absoluto entre seus componentes:
|v|infty = max1 <= i <= n |vi|
Passo 6
Agora, vamos calcular a diferença entre as soluções das iterações 3 e 2:
Em seguida, aplicamos a norma infinito a esse vetor diferença:
|x^3 - x^2|infty = max1 <= i <= n |x^3i - x^2i|
Passo 7
Por fim, após calcularmos os valores de x^3i - x^2i para cada componente, identificamos qual deles tem o maior valor absoluto. Esse valor será o erro envolvido entre as iterações 3 e 2.
Resposta
O erro envolvido entre as iterações 3 e 2, calculado pela norma infinito, é igual a |x^3-x^2|infty, que corresponde ao maior valor absoluto das diferenças entre os componentes de x^3 e x^2.