[Manual e Teórico] Dado o sistema linear
2 x1-6 alpha x2 & =3 3 alpha x1-x2 & =32
Determine os valores de alpha para os quais o sistema tem única solução. Nesse caso, determine-a.

Passo 1

Beleza, o exercício dá um sistema linear em 2,x1-6alpha,x2=3, 3alpha,x1-x2=tfrac32 e que depende de um parâmetro :
O conteúdo aqui é “sistemas lineares” – mais precisamente, ver quando o sistema tem solução única (usando o determinante da matriz de coeficientes) e, nesse caso, encontrá-la (por Regra de Cramer). Para isso você precisa saber:
  1. Como calcular o determinante de uma matriz .
  2. Critério de existência de solução única: determinante diferente de zero.
  3. Regras de Cramer para achar e .

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz de coeficientes
A = 2 & -6alpha[6pt] 3alpha & -1
e lembramos que, pra uma matriz a&bc&d,
det = a,d - b,c
Aqui
det A = 2cdot(-1) - l(-6alphar),(3alpha) = -2 + 18alpha^2 = 18alpha^2 - 2

Passo 3

O sistema tem solução única se, e somente se, 18alpha^2 - 2 neq 0 Longrightarrow alpha^2 neq tfrac19 Longrightarrow alpha neq pmtfrac13 .
Logo:

Passo 4

Para , a gente usa Cramer.
Definimos as matrizes e trocando, respectivamente, a 1ª e a 2ª coluna de pelos termos independentes .

Passo 5

  1. A1 = 3 & -6alpha[3pt] tfrac32 & -1 Longrightarrow det A1 = 3cdot(-1) - (-6alpha),tfrac32 = -3 + 9alpha = 9alpha - 3 :
A2 = 2 & 3[3pt] 3alpha & tfrac32 Longrightarrow det A2 = 2cdottfrac32 - 3,(3alpha) = 3 - 9alpha = 3(1 - 3alpha)
  1. x1 = det A1det A = 9alpha - 3,18alpha^2 - 2,, x2 = det A2det A = 3 - 9alpha,18alpha^2 - 2, :
Aí, pela Regra de Cramer:

Passo 6

Podemos simplificar porque x1 = 9alpha - 32(9alpha^2 -1) = 3(3alpha -1)2(3alpha -1)(3alpha+1) = 32(3alpha+1), .
Então
x2 = 3(1-3alpha)2(9alpha^2 -1) = -3(3alpha -1)2(3alpha -1)(3alpha+1) = -32(3alpha+1)

Resposta

Para boxed x1 = 32,(3alpha + 1), x2 = -32,(3alpha + 1) o sistema tem solução única, que é
E para , o determinante se anula e não há solução única.

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