[Manual] Seja f(x)=x^2-6. Com p0=3 e p1=2, determine p3 usando:
a o Método da Secante

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar $ p_3 $ usando o Método da Secante para a função $ f(x) = x^{2} - 6 $, começando com $ p_{0} = 3 $ e $ p_{1} = 2 $. Basicamente, a gente quer aproximar a raiz dessa função utilizando uma técnica iterativa chamada Método da Secante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método da Secante. É uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $. Diferente do Método de Newton, que usa a derivada da função, o Método da Secante utiliza duas aproximações iniciais e forma uma “secante” entre elas para encontrar uma nova aproximação.
A fórmula para calcular a próxima aproximação $ p_{n+1} $ é:
x
Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calculando $ p_2 $
Começamos com $ p_0 = 3 $ e $ p_1 = 2 $.
Primeiro, calculamos $ f(p_0) $ e $ f(p_1) $:
p2
p0 = 3
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar $ p_2 $:
p1 = 2
Simplificando:
f(p0)

Passo 4

Calculando $ p_3 $
Agora, usamos $ p_1 = 2 $ e $ p_2 = 2,4 $ para encontrar $ p_3 $.
Primeiro, calculamos $ f(p_1) $ e $ f(p_2) $:
p3
p1 = 2
Aplicamos novamente a fórmula:
p2 = 2,4
Simplificando:
p3

Resposta

Portanto, usando o Método da Secante, a aproximação de $ p_{3} $ é aproximadamente 2,4545.

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