[Manual] Seja
.
e
, determine
usando:
a o Método da Secante
a o Método da Secante
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar $ p_3 $ usando o Método da Secante para a função $ f(x) = x^{2} - 6 $, começando com $ p_{0} = 3 $ e $ p_{1} = 2 $. Basicamente, a gente quer aproximar a raiz dessa função utilizando uma técnica iterativa chamada Método da Secante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método da Secante. É uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $. Diferente do Método de Newton, que usa a derivada da função, o Método da Secante utiliza duas aproximações iniciais e forma uma “secante” entre elas para encontrar uma nova aproximação.
A fórmula para calcular a próxima aproximação $ p_{n+1} $ é:
Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calculando $ p_2 $
Começamos com $ p_0 = 3 $ e $ p_1 = 2 $.
Primeiro, calculamos $ f(p_0) $ e $ f(p_1) $:
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar $ p_2 $:
Simplificando:
Passo 4
Calculando $ p_3 $
Agora, usamos $ p_1 = 2 $ e $ p_2 = 2,4 $ para encontrar $ p_3 $.
Primeiro, calculamos $ f(p_1) $ e $ f(p_2) $:
Aplicamos novamente a fórmula:
Simplificando:
Resposta
Portanto, usando o Método da Secante, a aproximação de $ p_{3} $ é aproximadamente 2,4545.