[Manual] Use o Método de Newton para encontrar as soluções das equações a seguir com uma precisão de 10^{-5}.
e^{x}+2^{-x}+2 \cos x-6=0 para 1 \leq x \leq 2
\ln (x-1)+\cos (x-1)=0 para 1.3 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, via Método de Newton, as raízes de duas equações em intervalos dados, com precisão 10^{-5}. O conteúdo envolvido é o método iterativo de Newton, que requer conhecer a função f(x), sua derivada f'(x) e aplicar a fórmula
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
até que \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-5}.

Passo 2

Para a primeira equação definimos
f_1(x) = e^{x} + 2^{-x} + 2\cos x - 6,
f_1'(x) = e^{x} - 2^{-x}\ln 2 - 2\sin x.
Escolhemos como chute inicial x_0=1{,}8, já que f_1(1)<0 e f_1(2)>0, e 1{,}8 fica próximo da troca de sinal.

Passo 3

Aplicando o Método de Newton em f_1:
n =0: x_0 = 1{,}800000
f_1(x_0) = -0{,}117583,\quad f_1'(x_0) = 3{,}902971 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 1{,}800000 - \frac{-0{,}117583}{3{,}902971} = 1{,}830136
n =1: x_1 = 1{,}830136
f_1(x_1) = -0{,}000888,\quad f_1'(x_1) = 4{,}104490 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = 1{,}830136 + 0{,}000216 = 1{,}830352
n =2: x_2 = 1{,}830352
f_1(x_2) = 0{,}000662,\quad f_1'(x_2) = 4{,}106114 \quad\Longrightarrow\quad x_3 = 1{,}830352 - 0{,}000161 = 1{,}830191
n =3: x_3 = 1{,}830191
f_1(x_3) = -0{,}000137,\quad f_1'(x_3) = 4{,}105282 \quad\Longrightarrow\quad x_4 = 1{,}830191 + 0{,}000033 = 1{,}830224
n =4: x_4 = 1{,}830224
f_1(x_4) = -0{,}0000014,\quad f_1'(x_4) = 4{,}105424 \quad\Longrightarrow\quad x_5 = 1{,}830224 + 0{,}0000003 = 1{,}8302243
Como \lvert x_5 - x_4\rvert \approx 3{,}4\times10^{-7}<10^{-5}, a raiz converge para
x \approx 1{,}830224.

Passo 4

Para a segunda equação definimos
f_2(x) = \ln(x-1) + \cos(x-1),
f_2'(x) = \frac{1}{x-1} - \sin(x-1).
O intervalo é [1{,}3,2] e f_2(1{,}3)<0, f_2(2)>0. Escolhemos chute inicial x_0=1{,}4.

Passo 5

Aplicando o Método de Newton em f_2:
n =0: x_0 = 1{,}400000
f_2(x_0) = 0{,}004770,\quad f_2'(x_0) = 2{,}110582 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 1{,}400000 - \tfrac{0{,}004770}{2{,}110582} = 1{,}397740
n =1: x_1 = 1{,}397740
f_2(x_1) = -0{,}001479,\quad f_2'(x_1) = 2{,}127630 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = 1{,}397740 + 0{,}000695 = 1{,}398435
n =2: x_2 = 1{,}398435
f_2(x_2) = 0{,}000126,\quad f_2'(x_2) = 2{,}123100 \quad\Longrightarrow\quad x_3 = 1{,}398435 - 0{,}000059 = 1{,}398376
n =3: x_3 = 1{,}398376
f_2(x_3) = -0{,}000006,\quad f_2'(x_3) = 2{,}123600 \quad\Longrightarrow\quad x_4 = 1{,}398376 + 0{,}000003 = 1{,}398379
Como \lvert x_4 - x_3\rvert \approx 2{,}8\times10^{-6}<10^{-5}, a raiz converge para
x \approx 1{,}398379.

Resposta

Para e^{x}+2^{-x}+2\cos x-6=0 em [1,2]: x \approx 1{,}830224.
Para \ln(x-1)+\cos(x-1)=0 em [1{,}3,2]: x \approx 1{,}398379.

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