Seja f(x)=-x^{3}-\cos x e p_{0}=-1. Use o Método de Newton para encontrar p_{3}. Qual a precisão da aproximação? Poderíamos usar p_{0}=0 ? Explique.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, pelo método de Newton, uma raiz de
f(x) = -\,x^{3} - \cos x
usando p_{0} = -1 e encontrar p_{3}. O conteúdo é método iterativo de Newton, em que precisamos da derivada
f'(x) = -3\,x^{2} + \sin x
e da fórmula de iteração
p_{n+1} \;=\; p_{n} \;-\;\frac{f(p_{n})}{f'(p_{n})}.

Passo 2

Calculemos p_{1}. Em p_{0}=-1 temos
f(-1) = -(-1)^{3} - \cos(-1) = 1 - \cos1 \approx 1 - 0{,}540302 = 0{,}459698,
f'(-1) = -3\cdot(-1)^{2} + \sin(-1) = -3 - 0{,}841471 = -3{,}841471.
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p_{1} = -1 \;-\;\frac{0{,}459698}{-3{,}841471} \approx -1 + 0{,}1196 = -0{,}8804.

Passo 3

Agora p_{2}. Em p_{1}\approx -0{,}8804:
f(p_{1}) \approx -(-0{,}8804)^{3} - \cos(-0{,}8804) \approx 0{,}6818 - 0{,}6352 = 0{,}0466,
f'(p_{1}) \approx -3\,(0{,}8804)^{2} + \sin(-0{,}8804) \approx -2{,}325 + (-0{,}7710) = -3{,}0960.
Portanto
p_{2} = -0{,}8804 \;-\;\frac{0{,}0466}{-3{,}0960} \approx -0{,}8804 + 0{,}0151 = -0{,}8653.

Passo 4

Por fim p_{3}. Em p_{2}\approx -0{,}8653:
f(p_{2}) \approx -(-0{,}8653)^{3} - \cos(-0{,}8653) \approx 0{,}6480 - 0{,}6465 = 0{,}0015,
f'(p_{2}) \approx -3\,(0{,}8653)^{2} + \sin(-0{,}8653) \approx -2{,}247 + (-0{,}7615) = -3{,}0085.
Então
p_{3} = -0{,}8653 \;-\;\frac{0{,}0015}{-3{,}0085} \approx -0{,}8653 + 0{,}0005 = -0{,}8648.

Passo 5

Para estimar a precisão, observamos o tamanho da última correção
|p_{3}-p_{2}|\approx 0{,}0005,
ou seja, já temos cerca de 5\times10^{-4} de erro na aproximação.

Passo 6

Não poderíamos usar p_{0}=0 porque
f'(0)= -3\cdot0^{2} + \sin0 = 0,
e a fórmula de Newton exigiria divisão por zero, ficando o método indefinido.

Resposta

p_{3}\approx -0{,}8648, com precisão aproximada de 5\times10^{-4}.
Não é possível usar p_{0}=0 pois ali f'(0)=0 e a iteração de Newton fica sem definição.

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