[Teórico] Mostre que podermos aproximar \sqrt[4]{a} em uma calculadora que só faz soma, multiplicação e divisão. Encontre a fórmula de recorrência que faz estes cálculos e identifique o chute inicial que garante a convergência.

Passo 1

O enunciado pede uma forma de calcular \sqrt[4]{a} usando apenas soma, multiplicação e divisão. O conteúdo que vamos usar é o método de Newton para achar raízes da função
f(x)=x^{4}-a.
A ideia é construir uma sequência \{x_{n}\} que convirja para a raiz positiva de f, ou seja, para \sqrt[4]{a}.

Passo 2

Para aplicar o método de Newton, precisamos de f e de sua derivada. Aqui
f(x)=x^{4}-a, \qquad f'(x)=4\,x^{3}.

Passo 3

A iteração de Newton é
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} = x_{n} - \frac{x_{n}^{4}-a}{4\,x_{n}^{3}} = x_{n} - \frac{x_{n}}{4} + \frac{a}{4\,x_{n}^{3}}.
Agrupando termos, obtemos a fórmula de recorrência em que só aparecem soma, multiplicação e divisão:
x_{n+1} = \frac{3\,x_{n} + \dfrac{a}{x_{n}^{3}}}{4}.

Passo 4

Note que para computar x_{n+1} precisamos apenas de uma divisão a/x_{n}^{3}, uma multiplicação para obter x_{n}^{3}, outra multiplicação por 3, uma soma e, finalmente, uma divisão por 4. Logo, atende ao requisito da calculadora.

Passo 5

Para garantir a convergência, basta escolher um chute inicial x_{0}>0. De fato, em (0,\infty) temos f'(x)>0 e f''(x)=12x^{2}>0, ou seja, f é estritamente crescente e convexa, condição que assegura convergência global de Newton para qualquer x_{0}>0. Um chute habitual é
x_{0} = \begin{cases} a, & a\ge1,\\\\ 1, & 0<a<1. \end{cases}

Resposta

A sequência que converge para \sqrt[4]{a} é dada por
x_{n+1} = \frac{3\,x_{n} + \dfrac{a}{x_{n}^{3}}}{4},
com chute inicial positivo, por exemplo x_{0}=a se a\ge1 ou x_{0}=1 se 0<a<1.

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