[Teórico] Mostre que podermos aproximar \sqrt[4]{a} em uma calculadora que só faz soma, multiplicação e divisão. Encontre a fórmula de recorrência que faz estes cálculos e identifique o chute inicial que garante a convergência.
Passo 1
O enunciado pede uma forma de calcular \sqrt[4]{a} usando apenas soma, multiplicação e divisão. O conteúdo que vamos usar é o método de Newton para achar raízes da função
f(x)=x^{4}-a.
A ideia é construir uma sequência \{x_{n}\} que convirja para a raiz positiva de f, ou seja, para \sqrt[4]{a}.
Passo 2
Para aplicar o método de Newton, precisamos de f e de sua derivada. Aqui
Note que para computar x_{n+1} precisamos apenas de uma divisão a/x_{n}^{3}, uma multiplicação para obter x_{n}^{3}, outra multiplicação por 3, uma soma e, finalmente, uma divisão por 4. Logo, atende ao requisito da calculadora.
Passo 5
Para garantir a convergência, basta escolher um chute inicial x_{0}>0. De fato, em (0,\infty) temos f'(x)>0 e f''(x)=12x^{2}>0, ou seja, f é estritamente crescente e convexa, condição que assegura convergência global de Newton para qualquer x_{0}>0. Um chute habitual é
x_{0} = \begin{cases} a, & a\ge1,\\\\ 1, & 0<a<1. \end{cases}
Resposta
A sequência que converge para \sqrt[4]{a} é dada por