[Teórico] Suponhamos que queremos aproximar \sqrt[3]{a}(a>0) usando o Método do Ponto Fixo. Então podemos considerar este problema como o de achar o zero da função f(x)=x^{3}-a. Podemos isto como o problema de encontrar o ponto fixo de uma certa g, isto é, de x=g(x). Neste caso, há algumas escolhas para g,a saber:
  • x=g_{1}(x)=\frac{a}{x^{2}}
  • x=g_{2}(x)=\sqrt{\frac{a}{x}}

Passo 1

Queremos aproximar \sqrt[3]{a} (com a>0) como ponto fixo de alguma iteração x_{n+1}=g(x_n). Partimos da função
f(x)=x^3-a,
cuja raiz é \alpha=\sqrt[3]{a}. Veremos duas possíveis escolhas
g_1(x)=\frac{a}{x^2}, \quad g_2(x)=\sqrt{\frac{a}{x}},
e estudaremos a convergência local usando o critério \lvert g'(\alpha)\rvert<1.

Passo 2

Primeiro verificamos que ambas as iterações têm \alpha como ponto fixo, ou seja,
g_1(\alpha)=\frac{a}{\alpha^2}=\frac{a}{(\sqrt[3]{a})^2} =\sqrt[3]{a}=\alpha,
g_2(\alpha)=\sqrt{\frac{a}{\alpha}} =\sqrt{\frac{a}{\sqrt[3]{a}}} =\sqrt[3]{a}=\alpha.

Passo 3

Calculamos a derivada de g_1:
g_1'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{a}{x^2}\Bigr) =-2\,\frac{a}{x^3}.
Em x=\alpha isto vale
g_1'(\alpha) =-2\,\frac{a}{\alpha^3} =-2\,\frac{a}{a} =-2,
portanto \lvert g_1'(\alpha)\rvert=2>1, o que implica divergência local de g_1.

Passo 4

Agora a derivada de g_2:
g_2'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\sqrt{\tfrac{a}{x}}\Bigr) =\frac{d}{dx}\bigl(a^{1/2}x^{-1/2}\bigr) =-\tfrac12\,a^{1/2}x^{-3/2} =-\frac{\sqrt{a}}{2\,x^{3/2}}.
Em x=\alpha obtemos
g_2'(\alpha) =-\frac{\sqrt{a}}{2\,\alpha^{3/2}} =-\frac{\sqrt{a}}{2\,(\sqrt[3]{a})^{3/2}} =-\frac12,
de modo que \lvert g_2'(\alpha)\rvert=\tfrac12<1. Isso garante convergência linear local de g_2.

Resposta

A iteração com g_1(x)=a/x^2 diverge (pois \lvert g_1'(\alpha)\rvert=2>1) e a iteração com g_2(x)=\sqrt{a/x} converge linearmente para \sqrt[3]{a} (pois \lvert g_2'(\alpha)\rvert=\tfrac12<1).

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