[Teórico] Suponhamos que queremos aproximar
usando o Método do Ponto Fixo. Então podemos considerar este problema como o de achar o zero da função
. Podemos isto como o problema de encontrar o ponto fixo de uma certa
, isto é, de
. Neste caso, há algumas escolhas para
,a saber:
-
-
Passo 1
Queremos aproximar
(com
) como ponto fixo de alguma iteração
. Partimos da função
cuja raiz é
. Veremos duas possíveis escolhas
e estudaremos a convergência local usando o critério
.
Passo 2
Primeiro verificamos que ambas as iterações têm
como ponto fixo, ou seja,
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Em
isto vale
portanto
, o que implica divergência local de
.
Passo 4
Agora a derivada de
:
Em
obtemos
de modo que
. Isso garante convergência linear local de
.
Resposta
A iteração com
diverge (pois
) e a iteração com
converge linearmente para
(pois
).