[Manual] Use os métodos Secante e Falsa-Posição para encontrar uma raíz da equação x^{3}-2 x^{2}-5=0 com uma precisão de 10^{-3} iniciando de p_{0}=2 e p_{1}=3 (porque esta escolha?). Qual método foi melhor?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma raiz da função
f(x)=x^3 - 2x^2 - 5 = 0
com precisão 10^{-3}, usando os métodos da Secante e da Falsa-Posição, iniciando em p_0=2 e p_1=3. Escolhemos esses pontos porque
f(2)=2^3 -2\cdot2^2 -5 = -5, \quad f(3)=3^3 -2\cdot3^2 -5 = 4,
ou seja, f(2) e f(3) têm sinais opostos, garantindo pelo Teorema de Bolzano a existência de uma raiz em (2,3). Vamos iterar até que
\lvert p_n - p_{n-1}\rvert < 10^{-3}.

Passo 2

Aplicando o método da Secante, usamos a fórmula
p_{n+1} \;=\; p_n \;-\; f(p_n)\,\frac{p_n - p_{n-1}}{f(p_n)-f(p_{n-1})}.
Calculamos sucessivamente:
\begin{array}{c|c|c|c} n & p_n & f(p_n) & |p_n - p_{n-1}| \\\ \hline 0 & 2{,}0000 & -5{,}0000 & - \\\\ 1 & 3{,}0000 & 4{,}0000 & 1{,}0000 \\\\ 2 & 2{,}5556 & -1{,}3741 & 0{,}4444 \\\\ 3 & 2{,}6691 & -0{,}2350 & 0{,}1135 \\\\ 4 & 2{,}6925 & 0{,}0308 & 0{,}0234 \\\\ 5 & 2{,}6898 & 0{,}0035 & 0{,}0027 \\\\ 6 & 2{,}6894 & -0{,}0006 & 0{,}0004 \end{array}
Na linha n=6 temos \lvert p_6 - p_5\rvert = 0{,}0004 < 10^{-3},
portanto o método da Secante converge em 6 aproximações a
p \approx 2{,}6894.

Passo 3

No método da Falsa-Posição (Regula Falsi), mantemos o intervalo [a,b] com f(a)\,f(b)<0 e a cada iteração calculamos
c = b \;-\; f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)},
substituindo a ou b pelo novo ponto c conforme o sinal de f\text{(c)}. Iterando:
\begin{array}{c|c|c|c|c} n & a & b & c & |c - c_{n-1}| \\\ \hline 0 & 2{,}0000 & 3{,}0000 & - & - \\\\ 1 & 2{,}5556 & 3{,}0000 & 2{,}5556 & - \\\\ 2 & 2{,}5556 & 3{,}0000 & 2{,}6693 & 0{,}1137 \\\\ 3 & 2{,}6693 & 3{,}0000 & 2{,}6877 & 0{,}0184 \\\\ 4 & 2{,}6877 & 3{,}0000 & 2{,}6908 & 0{,}0031 \\\\ 5 & 2{,}6877 & 2{,}6908 & 2{,}6904 & 0{,}0004 \end{array}
Na iteração n=5 obtivemos \lvert c_5 - c_4\rvert = 0{,}0004 < 10^{-3},
logo a Falsa-Posição converge em 5 aproximações a
p \approx 2{,}6904.

Resposta

A raiz aproximada é p\approx2{,}690 com ambas as técnicas. O método da Falsa-Posição foi ligeiramente melhor, pois convergiu em 5 iterações, enquanto a Secante precisou de 6.

Exercícios relacionados