Marque V para verdadeiro, F para falso:
a. Uma desvantagem de usar |f(x k)|<\epsilon como critério de parada é que a função pode apenas chegar próximo de 0 , mas não cruzar o eixo x.
b. Dado um intervalo [a, b], se f é contínua, f(a)>0 e f(b)>0, então não há raiz real no intervalo [\mathrm{a}, \mathrm{b}].
c. Dado um intervalo [a, b], se f é contínua, f(a)>0 e f(b)<0, então há exatamente uma única raiz real no intervalo [ \mathrm{a}, \mathrm{b} ]
d. O método de Newton terá uma melhor convergência se já estiver próximo da raiz.
e. O método Regula Falsi (falsa posição) sempre mantém um intervalo cujos extremos possuem sinais opostos na função.
f. Umponto fixo p em uma função g(x) é tal que g(p)=0.
h. Se f(x)=x-g(x), então os pontos fixos de g(x) são raízes de f(x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a veracidade de afirmações sobre métodos numéricos de localização de raízes e pontos fixos, envolvendo critérios de parada, teorema do valor intermediário, convergência de Newton, falsa posição e definição de ponto fixo.

Passo 2

Para (a): usar \lvert f(x_k)\rvert<\epsilon como critério de parada pode levar a aceitar um ponto onde f(x_k) está próximo de zero sem que a raiz seja realmente alcançada (por exemplo, em funções que se “aproximam” da raiz sem cruzar o eixo). Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Para (b): se f(a)>0 e f(b)>0 e f é contínua, o teorema do valor intermediário garante que não há raiz ímpar no intervalo, mas podem existir raízes de multiplicidade par ou pares de raízes. Então não se pode afirmar que “não há raiz real”; (b) é falsa.

Passo 4

Para (c): com f(a)>0 e f(b)<0 há pelo menos uma raiz em [a,b] pelo teorema do valor intermediário, mas sem monotonicidade não há garantia de unicidade. Portanto, (c) é falsa.

Passo 5

Para (d): o método de Newton converge quadraticamente quando a aproximação inicial está suficientemente próxima da raiz, o que melhora muito a convergência local. Assim, (d) é verdadeira.

Passo 6

Para (e): o método da falsa posição sempre conserva um intervalo cujos extremos a e b satisfazem f(a)\cdot f(b)<0, mantendo o bracket e garantindo a existência de pelo menos uma raiz no intervalo. Logo, (e) é verdadeira.

Passo 7

Para (f): ponto fixo de uma função g é um p tal que g(p)=p, não g(p)=0. Assim, (f) é falsa.

Passo 8

Para (h): definindo f(x)=x-g(x), se p é ponto fixo de g então g(p)=p, daí
f(p)=p-g(p)=0,
ou seja, todo ponto fixo de g é raiz de f. Logo, (h) é verdadeira.

Resposta

a. V
b. F
c. F
d. V
e. V
f. F
h. V

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