Usando o Método da Falsa Posição calcule a raiz para a função f(x)=x^{2}-3, com erro \varepsilon>0,01. Sabe-se que a raiz está contida no intervalo [1;2].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de f(x)=x^{2}-3 no intervalo [1,2] usando o Método da Falsa Posição, até que a diferença entre duas aproximações sucessivas seja menor que \varepsilon=0,01. Vamos precisar
  1. calcular f(1) e f(2),
  2. usar a fórmula da falsa posição
x_{\text{new}} = a - f(a)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}
  1. atualizar o intervalo conforme o sinal de f(x_{\text{new}})
  2. repetir até \bigl|x_{\text{new}}-x_{\text{old}}\bigr|<0,01.

Passo 2

Inicialmente a_{0}=1, b_{0}=2. \!f(a_{0})=f(1)=1^{2}-3=-2, \!f(b_{0})=f(2)=2^{2}-3=1.
Aplicando
x_{1}=a_{0}-f(a_{0})\,\frac{b_{0}-a_{0}}{f(b_{0})-f(a_{0})} =1-(-2)\frac{2-1}{1-(-2)}=1+\frac{2}{3}=1,6667,
então
f(x_{1})=(1,6667)^{2}-3\approx-0,2222<0.
Como f(x_{1}) e f(b_{0}) têm sinais opostos, o novo intervalo é [a_{1},b_{1}]=[1,6667,\,2].

Passo 3

Agora a_{1}=1,6667, b_{1}=2, com \!f(a_{1})\approx-0,2222, \!f(b_{1})=1.
Calculamos
x_{2}=a_{1}-f(a_{1})\,\frac{b_{1}-a_{1}}{f(b_{1})-f(a_{1})} =1,6667-(-0,2222)\frac{0,3333}{1+0,2222}\approx1,7273,
e
f(x_{2})=(1,7273)^{2}-3\approx-0,0165<0.
O sinal de f(x_{2}) continua oposto ao de f(b_{1}), então o intervalo vira [a_{2},b_{2}]=[1,7273,\,2]. A diferença \bigl|x_{2}-x_{1}\bigr|\approx0,0606>0,01, seguimos.

Passo 4

Com a_{2}=1,7273, b_{2}=2, \!f(a_{2})\approx-0,0165, \!f(b_{2})=1.
Falsa posição dá
x_{3}=a_{2}-f(a_{2})\,\frac{b_{2}-a_{2}}{f(b_{2})-f(a_{2})} \approx1,7273-(-0,0165)\frac{0,2727}{1,0165}\approx1,7318.
A diferença \bigl|x_{3}-x_{2}\bigr|\approx0,0045<0,01, portanto atingimos a tolerância desejada.

Resposta

A aproximação final da raiz é aproximadamente 1,7318.

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