Usando o Método da Falsa Posição calcule a raiz para a função f(x)=x^{2}-3, com erro \varepsilon>0,01. Sabe-se que a raiz está contida no intervalo [1;2].

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de \,f(x)=x^{2}-3 no intervalo [1,2] usando o Método da Falsa Posição, com tolerância \varepsilon=0,01. Vamos usar a regra de que a cada iteração
  1. calculamos
x = \frac{b\,f(a)\;-\;a\,f(b)}{f(a)\;-\;f(b)},
  1. avaliamos f(x),
  2. escolhemos o subintervalo [a,x] ou [x,b] que mantém o produto f(a)\,f(b)<0,
  3. e repetimos até \bigl|f(x)\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Começamos com
a=1,\quad f(a)=1^{2}-3=-2;\quad b=2,\quad f(b)=2^{2}-3=1.
Como f(a)\,f(b)=-2<0, garantimos que há raiz em [1,2]. Aplicando a fórmula de falsa posição:

Passo 3

Primeira iteração:
x_{1} = \frac{2\cdot(-2)\;-\;1\cdot1}{(-2)\;-\;1} = \frac{-4-1}{-3} = \frac{5}{3}\approx1,6667.
Calculamos
f(x_{1})=\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{2}-3 =\frac{25}{9}-3 =-\frac{2}{9}\approx-0,2222.
Como f(a)\,f(x_{1})=(-2)\times(-0,2222)>0, escolhemos o intervalo [x_{1},\,b]=[1,6667,2].

Passo 4

Segunda iteração:
a=1,6667,\;f(a)\approx-0,2222,\quad b=2,\;f(b)=1.
x_{2} = \frac{2\cdot(-0,2222)\;-\;1,6667\cdot1}{(-0,2222)\;-\;1} =1,72727\quad(\text{aprox.})
f(x_{2})=(1,72727)^{2}-3\approx-0,01653.
Ainda f(a)\,f(x_{2})<0? Não: ambos são negativos, então agora o intervalo é [x_{2},\,b]=[1,72727,2]. Verificamos \bigl|f(x_{2})\bigr|\approx0,01653>0,01, logo continuamos.

Passo 5

Terceira iteração:
a=1,72727,\;f(a)\approx-0,01653,\quad b=2,\;f(b)=1.
x_{3} = \frac{2\cdot(-0,01653)\;-\;1,72727\cdot1}{(-0,01653)\;-\;1} \approx1,73196.
f(x_{3})=(1,73196)^{2}-3\approx-0,000308.
Agora \bigl|f(x_{3})\bigr|\approx0,000308<0,01, então atingimos a tolerância e paramos.

Resposta

A aproximação da raiz é
x\approx1,73196.

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