A massa total de uma haste de densidade variável é dada por:
m=integral0^L rho(x) Ac(x) d x
em que m é a massa, rho(x) é a densidade, Ac(x) é a área da seção transversal, x é a distância ao longo da haste e Lé o comprimento total da haste. Os seguintes dados foram medidos para uma haste de 10 m . Determine a massa em quilogramas com a melhor precisão possível.

Dados

x(m) 0 2 4 6 8 10 12
rho(g / cm^3) 4.00 3.95 3.80 3.60 3.41 3.30 3.25
Ac(cm^2) 100 103 110 120 133 150 163
Tabela 1: Valores de densidade e área da seção transversal ao longo da haste.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa m=integral0^Lrho(x),Ac(x),dx de uma haste de comprimento m, cuja densidade e área da seção transversal variam com , usando
Conteúdo: integração numérica (regra dos trapézios). Precisamos transformar as unidades (de g/cm³ e cm² para kg/m³ e m²) e depois aproximar a integral pelos trapézios.

Passo 2

Antes de aplicar a regra dos trapézios, convertemos:
1g/cm^3 = 1000kg/m^3, 1cm^2 = 10^-4m^2
Para cada ponto rhoi = 1000,l[rho(xi)r]g/cm^3, Ac,i=10^-4,l[Ac(xi)r]cm^2, fi=rhoi,Ac,i[kg/m] calculamos
Fazendo as contas rápidas:
  • : kg/m³, kg/m
  • : kg/m³, kg/m
  • : kg/m³, kg/m
  • : kg/m³, kg/m
  • : kg/m³, kg/m
  • : kg/m³, kg/m

Passo 3

Aplicamos a regra composta dos trapézios com passo mapprox h2l(f0+2f1+2f2+2f3+2f4+f5r) m:
mapprox 22l(40 + 2,(40,685+41,8+43,2+45,353) + 49,5r) =89,5 + 342,076 =431,576;kg
Substituindo e somando:

Resposta

A massa da haste é aproximadamente .

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