A massa total de uma haste de densidade variável é dada por:
em que
é a massa,
é a densidade,
é a área da seção transversal,
é a distância ao longo da haste e Lé o comprimento total da haste. Os seguintes dados foram medidos para uma haste de 10 m . Determine a massa em quilogramas com a melhor precisão possível.
Dados
|
0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
4.00 | 3.95 | 3.80 | 3.60 | 3.41 | 3.30 | 3.25 |
|
100 | 103 | 110 | 120 | 133 | 150 | 163 |
Tabela 1: Valores de densidade e área da seção transversal ao longo da haste.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a massa
de uma haste de comprimento
m, cuja densidade
e área da seção transversal
variam com
, usando
Conteúdo: integração numérica (regra dos trapézios). Precisamos transformar as unidades (de g/cm³ e cm² para kg/m³ e m²) e depois aproximar a integral pelos trapézios.
Passo 2
Antes de aplicar a regra dos trapézios, convertemos:
Para cada ponto
calculamos
Fazendo as contas rápidas:
-
: kg/m³, m² kg/m -
: kg/m³, m² kg/m -
: kg/m³, m² kg/m -
: kg/m³, m² kg/m -
: kg/m³, m² kg/m -
: kg/m³, m² kg/m
Passo 3
Aplicamos a regra composta dos trapézios com passo
m:
Substituindo e somando:
Resposta
A massa da haste é aproximadamente
.