Você deve medir a vazão de água de um tanque. Para isso, coloca um pequeno contêiner na saída do tanque e mede o volume como uma função do tempo, como tabulado a seguir. Determine a vazão d Vd t e interpole esses valores para obter uma estimativa da vazão em t=8 s.

Dados

tempo (s) 0 3 6 9
Volume (cm^3) 0 1 8 16,8

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. A gente tem uma tabela de volume de água que sai de um tanque em certos instantes de tempo, e quer saber a vazão instantânea em ,s, ou seja, nesse instante. O conteúdo aqui envolve derivadas (pra obter a velocidade de variação) e interpolação polinomial (pra montar uma função que caiba nos dados e daí derivar).

Passo 2

Primeiro, lembra que derivada é a taxa de variação instantânea:
dVdt
Como não temos uma fórmula direta de , usamos interpolação polinomial: escolhemos um polinômio de grau 2 (pois temos 3 pontos próximos) que passa pelos pontos , e . Depois, derivamos esse polinômio e avaliamos em .

Passo 3

Montando o polinômio
P(t)=a,t^2 + b,t + c
ele precisa satisfazer as três condições:
  1. para (36-9)a + (6-3)b = 8 - 1 Longrightarrow 27a + 3b = 7 tag4 : (81-36)a + (9-6)b = 16,8 - 8 Longrightarrow 45a + 3b = 8,8 tag5
  2. para 45a - 27a = 8,8 - 7 Longrightarrow 18a = 1,8 ;;Longrightarrow;; a = 0,1 : 27cdot0,1 + 3b = 7 Longrightarrow 2,7 + 3b = 7 ;Longrightarrow; 3b = 4,3 ;Longrightarrow; b = 1,4333
  3. para 9cdot0,1 + 3cdot1,4333 + c = 1 ;Longrightarrow; 0,9 + 4,3 + c = 1 ;Longrightarrow; c = 1 - 5,2 = -4,2 : P(t)=0,1,t^2 + 1,4333,t - 4,2
Agora resolvemos o sistema de forma simples:
  • Subtraindo (1) de (2):
  • Subtraindo (2) de (3):
  • Agora (5) – (4):
  • De volta em (4):
  • E em (1) pra achar :
Então

Passo 4

Agora a derivada do polinômio é
P'(t) = ddtl(0,1,t^2 + 1,4333,t -4,2r) = 2cdot0,1,t + 1,4333 = 0,2,t + 1,4333
Para P'(8) = 0,2cdot8 + 1,4333 = 1,6 + 1,4333 = 3,0333 (cm^3/s) ,s:

Resposta

A estimativa da vazão instantânea em boxeddVdt|t=8,sapprox 3,03;cm^3/s ,s é

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