Sabendo-se que a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de um certo corpo de massa m de T0 a T1 é dada por:
Q=m integralT0^T1 C(T) d T
onde C(T) é o calor específico do corpo à temperatura T. Calcule, usando a regra dos trapézios repetida ( n=10 ), a quantidade de calor necessária para se elevar 1 k g de água de 0^circ C a 100^circ C.

Dados

T( ^circ C) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
C(T)(kcal / kg^circ C) 999,9 999,7 998,2 995,3 992,3 988,1 983,2 977,8 971,8 965,3 958,4
Tabela 2: Calor específico da água em função da temperatura.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é calcular
Q ;=; mintegralT0^T1 C(T),dT
para 1 kg de água indo de 0 °C a 100 °C, usando a regra dos trapézios composta com .
Conteúdo: cálculo numérico de integral (regra dos trapézios).
O que precisamos:
  • Os valores de na tabela.
  • O intervalo e .
  • A fórmula da regra dos trapézios composta.

Passo 2

Primeiro, a teoria da regra dos trapézios composta:
Se a gente quer aproximar
integrala^b f(x),dx
com integrala^b f(x),dx approx h2l[f(x0)+2sumi=1^n-1f(xi)+f(xn)r] subintervalos de mesmo tamanho , a fórmula é
No nosso caso , , , .

Passo 3

Calcular o passo h=100-010=10;(^circ C) :

Passo 4

Anotar os C0&=999,9, &C10&=999,7, &C20&=998,2, C30&=995,3, &C40&=992,3, &C50&=988,1, C60&=983,2, &C70&=977,8, &C80&=971,8, C90&=965,3, &C100&=958,4 da tabela para sumi=1^9 CTi =999,7+998,2+995,3+992,3+988,1 +983,2+977,8+971,8+965,3 =8871,7 (em kcal/kg·°C):
Somando só os termos internos ( a 9):

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula:
integral0^100C(T),dT approx 102l(C0+2sumi=1^9CTi+C100r) ;=; 5l(999,9 +2cdot8871,7 +958,4r)
Calculemos o interior:
999,9 +2cdot8871,7 +958,4 =999,9 +17743,4 +958,4 =196, etc=196 etc? 999.9+17743.4=18743.3, +958.4=19701.7
Então
integral0^100C(T),dTapprox 5times19701,7 =98508,5(kcal/kg)
Como kg, essa integral.

Resposta

A quantidade de calor aproximada é
Q approx 9,8508times10^4;kcal

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