Questão: (2,0) Obtenha o máximo da função
pelo Método da Secante para
até a
iteração. Use arredondamento até a
casa decimal.
Passo 1
O enunciado pede que se obtenha o máximo da função
usando o Método da Secante com pontos iniciais
e
, fazendo as iterações até a 3ª iteração.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função:
. - Pontos iniciais para o método da secante:
e . - Deve-se usar arredondamento até a 4ª casa decimal.
O que o enunciado pede concretamente:
- Encontrar (aproximar) o ponto
onde atinge um máximo, usando o Método da Secante aplicado ao problema apropriado, realizando 3 iterações a partir dos pontos dados, e apresentar o resultado arredondado à 4ª casa decimal.
Passo 2
Comentário sobre o método a ser usado (explicação didática): para achar máximos de uma função diferenciável
procura-se pontos estacionários onde
. Portanto transformamos o problema de otimização em um problema de achar raiz da função derivada.
- Primeiro, calculamos a derivada
. Usando a regra do produto e a derivada de e de :
Denotamos
. O objetivo passa a ser encontrar uma solução de
.
- Método da Secante (fórmula): para aproximar raízes de
com duas aproximações consecutivas e , a secante gera
Partindo de
e
, a 1ª iteração fornece
, a 2ª iteração fornece
e a 3ª iteração fornece
. Vamos apresentar cada cálculo e arredondar os resultados à 4ª casa decimal, conforme pedido.
Passo 3
Preparação: cálculo de
nos pontos iniciais. Aqui e em todos os passos numéricos os resultados serão arredondados à 4ª casa decimal (conforme pedido).
Calculamos
.
-
Para
: -
, -
, -
. -
. - Logo
-
-
Para
: -
, -
, -
. -
. - Logo
-
(Os valores acima foram arredondados à 4ª casa decimal para apresentação.)
Passo 4
1ª iteração (calcular
). Usando
,
,
e
, aplicamos a fórmula da secante:
Calcule passo a passo:
-
. -
(arredondado). - Fração:
. - Portanto
.
Assim
(arredondado à 4ª casa decimal).
Passo 5
Avaliação de
em
(necessária para a próxima iteração).
- Tomando
, - calcular
e (usando expansão/trigonometria ou calculadora), - obtemos aproximadamente
e . - Soma:
. -
. - Logo
- calcular
Arredondando:
.
Passo 6
2ª iteração (calcular
). Agora usamos os últimos dois pontos
e
, com
e
:
Calcule passo a passo:
-
. - .
- Fração:
. - Então
.
Assim
(arredondado à 4ª casa decimal).
Passo 7
Avaliação de
em
(para usar na 3ª iteração).
- Com
, -
, -
, - Soma:
. -
. - Então
-
Arredondando:
.
Passo 8
3ª iteração (calcular
). Usamos
e
com
e
:
Passo a passo:
-
. -
. - Numerador:
. - Fração:
. - Logo
.
Portanto, após a 3ª iteração obtemos
(arredondado à 4ª casa decimal). Esta é a aproximação da raiz de
obtida pela secante depois de 3 iterações a partir de
e
.
Passo 9
Verificação de que o ponto é máximo (checar a segunda derivada):
- Calculamos
. Partindo de e derivando:
Assim
. Em
temos
(valor negativo), e
, logo
. Conclusão: o ponto é de máximo local, como esperado.