\mathbf{1}^{\circ} Questão: (2,0) Obtenha o máximo da função f(x)=e^{x} \cdot \operatorname{sen}(x) pelo Método da Secante para x_{0}=3 \mathrm{e} x_{1}=2 até a 3^{\circ} iteração. Use arredondamento até a 4^{\circ} casa decimal.

Passo 1

O enunciado pede que se obtenha o máximo da função f(x)=e^{x}\cdot\operatorname{sen}(x) usando o Método da Secante com pontos iniciais x_{0}=3 e x_{1}=2, fazendo as iterações até a 3ª iteração.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=e^{x}\operatorname{sen}(x).
  • Pontos iniciais para o método da secante: x_{0}=3 e x_{1}=2.
  • Deve-se usar arredondamento até a 4ª casa decimal.
O que o enunciado pede concretamente:
  • Encontrar (aproximar) o ponto x onde f atinge um máximo, usando o Método da Secante aplicado ao problema apropriado, realizando 3 iterações a partir dos pontos dados, e apresentar o resultado arredondado à 4ª casa decimal.

Passo 2

Comentário sobre o método a ser usado (explicação didática): para achar máximos de uma função diferenciável f procura-se pontos estacionários onde f'(x)=0. Portanto transformamos o problema de otimização em um problema de achar raiz da função derivada.
  • Primeiro, calculamos a derivada f'(x). Usando a regra do produto e a derivada de e^x e de \operatorname{sen}(x):
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\operatorname{sen}(x)\big)=e^{x}\operatorname{sen}(x)+e^{x}\operatorname{cos}(x)=e^{x}\big(\operatorname{sen}(x)+\operatorname{cos}(x)\big).
Denotamos g(x)=f'(x)=e^{x}\big(\operatorname{sen}(x)+\operatorname{cos}(x)\big). O objetivo passa a ser encontrar uma solução de g(x)=0.
  • Método da Secante (fórmula): para aproximar raízes de g(x)=0 com duas aproximações consecutivas x_{k-1} e x_k, a secante gera
x_{k+1}=x_k-\dfrac{g(x_k)\,(x_k-x_{k-1})}{g(x_k)-g(x_{k-1})}.
Partindo de x_0 e x_1, a 1ª iteração fornece x_2, a 2ª iteração fornece x_3 e a 3ª iteração fornece x_4. Vamos apresentar cada cálculo e arredondar os resultados à 4ª casa decimal, conforme pedido.

Passo 3

Preparação: cálculo de g(x) nos pontos iniciais. Aqui e em todos os passos numéricos os resultados serão arredondados à 4ª casa decimal (conforme pedido).
Calculamos g(x)=e^{x}(\operatorname{sen}x+\operatorname{cos}x).
  • Para x_{0}=3:
    • \operatorname{sen}(3)\approx 0{,}1411200081,
    • \operatorname{cos}(3)\approx -0{,}9899924966,
    • \operatorname{sen}(3)+\operatorname{cos}(3)\approx -0{,}8488724885.
    • e^{3}\approx 20{,}0855369232.
    • Logo
    g(3)=e^{3}\big(\operatorname{sen}3+\operatorname{cos}3\big)\approx 20{,}0855369232\cdot(-0{,}8488724885)\approx -17{,}0501.
  • Para x_{1}=2:
    • \operatorname{sen}(2)\approx 0{,}9092974268,
    • \operatorname{cos}(2)\approx -0{,}4161468365,
    • \operatorname{sen}(2)+\operatorname{cos}(2)\approx 0{,}4931505903.
    • e^{2}\approx 7{,}3890560989.
    • Logo
    g(2)=e^{2}\big(\operatorname{sen}2+\operatorname{cos}2\big)\approx 7{,}3890560989\cdot0{,}4931505903\approx 3{,}6439.
(Os valores acima foram arredondados à 4ª casa decimal para apresentação.)

Passo 4

1ª iteração (calcular x_{2}). Usando x_{0}=3, x_{1}=2, g(x_{0})\approx -17{,}0501 e g(x_{1})\approx 3{,}6439, aplicamos a fórmula da secante:
x_{2}=x_{1}-\dfrac{g(x_{1})\,(x_{1}-x_{0})}{g(x_{1})-g(x_{0})} =2-\dfrac{3{,}6439\cdot(2-3)}{3{,}6439-(-17{,}0501)}.
Calcule passo a passo:
  • x_{1}-x_{0}=2-3=-1.
  • g(x_{1})-g(x_{0})=3{,}6439-(-17{,}0501)=20{,}6940 (arredondado).
  • Fração: \dfrac{3{,}6439\cdot(-1)}{20{,}6940}=-\dfrac{3{,}6439}{20{,}6940}\approx -0{,}1761.
  • Portanto x_{2}=2-(-0{,}1761)=2+0{,}1761=2{,}1761.
Assim x_{2}\approx 2{,}1761 (arredondado à 4ª casa decimal).

Passo 5

Avaliação de g em x_{2} (necessária para a próxima iteração).
  • Tomando x_{2}=2{,}1761,
    • calcular \operatorname{sen}(2{,}1761) e \operatorname{cos}(2{,}1761) (usando expansão/trigonometria ou calculadora),
    • obtemos aproximadamente \operatorname{sen}(2{,}1761)\approx 0{,}8244 e \operatorname{cos}(2{,}1761)\approx -0{,}5650.
    • Soma: \operatorname{sen}(2{,}1761)+\operatorname{cos}(2{,}1761)\approx 0{,}2594.
    • e^{2{,}1761}=e^{2}\,e^{0{,}1761}\approx 7{,}3890560989\cdot1{,}1925\approx 8{,}8101.
    • Logo
    g(2{,}1761)=e^{2{,}1761}\big(\operatorname{sen}(2{,}1761)+\operatorname{cos}(2{,}1761)\big)\approx 8{,}8101\cdot0{,}2594\approx 2{,}2867.
Arredondando: g(x_{2})\approx 2{,}2867.

Passo 6

2ª iteração (calcular x_{3}). Agora usamos os últimos dois pontos x_{1}=2 e x_{2}=2{,}1761, com g(x_{1})\approx 3{,}6439 e g(x_{2})\approx 2{,}2867:
x_{3}=x_{2}-\dfrac{g(x_{2})\,(x_{2}-x_{1})}{g(x_{2})-g(x_{1})} =2{,}1761-\dfrac{2{,}2867\cdot(2{,}1761-2)}{2{,}2867-3{,}6439}.
Calcule passo a passo:
  • x_{2}-x_{1}=0{,}1761.
  • g(x_{2})-g(x_{1})=2{,}2867-3{,}6439}=-1{,}3572.
  • Fração: \dfrac{2{,}2867\cdot0{,}1761}{-1{,}3572}\approx -0{,}2968.
  • Então x_{3}=2{,}1761-(-0{,}2968)=2{,}1761+0{,}2968=2{,}4729.
Assim x_{3}\approx 2{,}4729 (arredondado à 4ª casa decimal).

Passo 7

Avaliação de g em x_{3} (para usar na 3ª iteração).
  • Com x_{3}=2{,}4729,
    • \operatorname{sen}(2{,}4729)\approx 0{,}6184,
    • \operatorname{cos}(2{,}4729)\approx -0{,}7836,
    • Soma: \operatorname{sen}+\operatorname{cos}\approx -0{,}1652.
    • e^{2{,}4729}\approx e^{2}\,e^{0{,}4729}\approx 7{,}3890561\cdot1{,}6046\approx 11{,}8540.
    • Então
    g(2{,}4729)\approx 11{,}8540\cdot(-0{,}1652)\approx -1{,}9570.
Arredondando: g(x_{3})\approx -1{,}9570.

Passo 8

3ª iteração (calcular x_{4}). Usamos x_{2}=2{,}1761 e x_{3}=2{,}4729 com g(x_{2})\approx 2{,}2867 e g(x_{3})\approx -1{,}9570:
x_{4}=x_{3}-\dfrac{g(x_{3})\,(x_{3}-x_{2})}{g(x_{3})-g(x_{2})} =2{,}4729-\dfrac{(-1{,}9570)\cdot(2{,}4729-2{,}1761)}{-1{,}9570-2{,}2867}.
Passo a passo:
  • x_{3}-x_{2}=2{,}4729-2{,}1761=0{,}2968.
  • g(x_{3})-g(x_{2})=-1{,}9570-2{,}2867=-4{,}2437.
  • Numerador: (-1{,}9570)\cdot0{,}2968\approx -0{,}5809.
  • Fração: \dfrac{-0{,}5809}{-4{,}2437}\approx 0{,}1368.
  • Logo x_{4}=2{,}4729-0{,}1368=2{,}3361.
Portanto, após a 3ª iteração obtemos x_{4}\approx 2{,}3361 (arredondado à 4ª casa decimal). Esta é a aproximação da raiz de g(x)=0 obtida pela secante depois de 3 iterações a partir de x_{0}=3 e x_{1}=2.

Passo 9

Verificação de que o ponto é máximo (checar a segunda derivada):
  • Calculamos f''(x). Partindo de f'(x)=e^{x}(\operatorname{sen}x+\operatorname{cos}x) e derivando:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big[e^{x}(\operatorname{sen}x+\operatorname{cos}x)\big] = e^{x}(\operatorname{sen}x+\operatorname{cos}x)+e^{x}(\operatorname{cos}x-\operatorname{sen}x) = e^{x}\big(2\operatorname{cos}x\big).
Assim f''(x)=2e^{x}\operatorname{cos}x. Em x_{4}\approx 2{,}3361 temos \operatorname{cos}(2{,}3361)\approx -0{,}6926 (valor negativo), e e^{x}>0, logo f''(2{,}3361)=2e^{2{,}3361}\operatorname{cos}(2{,}3361)<0. Conclusão: o ponto é de máximo local, como esperado.

Resposta

x_{\text{máx}}\approx 2{,}3361á
f\big(x_{\text{máx}}\big)\approx 7{,}4560á

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