Questão 3. Utilize o Méthodo de Adams-Bashforth de Três passos para calcular aproximações para
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu use o método de três passos de Adams–Bashforth para calcular aproximações para
e
com passo
.\n
Informações fornecidas explicitamente pelo enunciado: .\n
Informações que são necessárias para executar os cálculos numéricos, mas que não foram fornecidas no enunciado: a equação diferencial , o instante inicial
(ou a sequência de
), e as aproximações iniciais
(ou
mais um método para obter
).\n
Como esses dados são essenciais para obter valores numéricos de e
, não posso produzir os números finais sem eles. Nos passos seguintes eu vou explicar didaticamente tudo que você precisa saber para aplicar o método assim que tiver esses dados (fórmulas, procedimentos passo a passo e como obter
se só existir
).
Informações fornecidas explicitamente pelo enunciado:
Informações que são necessárias para executar os cálculos numéricos, mas que não foram fornecidas no enunciado: a equação diferencial
Como esses dados são essenciais para obter valores numéricos de
Passo 2
O que é e qual a fórmula do método (explicação didática):\n
O método de Adams–Bashforth de três passos é um método multi‑passo explícito para aproximar soluções de . Ele usa os valores das derivadas
em três pontos anteriores para prever o próximo valor
.\n
A fórmula padrão é:
O método de Adams–Bashforth de três passos é um método multi‑passo explícito para aproximar soluções de
A fórmula padrão é:
onde
.\n
Explicando cada símbolo de forma bem prática:\n
Explicando cada símbolo de forma bem prática:\n
-
é a aproximação numérica de no instante .\n -
é o valor da função do lado direito da EDO avaliada em , ou seja .\n -
é o passo (aqui ).\n
Interpretação: para obtervocê parte de e soma uma combinação linear das derivadas anteriores multiplicada por . Os coeficientes vêm da integração do polinômio interpolador pelas três últimas derivadas.
Passo 3
Como calcular
passo a passo (procedimento quando os dados existirem):\n
- Define os tempos:
para .\n - Avalie
— isso requer conhecer a EDO e os .\n - Aplique a fórmula com
para obter :
- Numérico: substitua
e os valores numéricos de para obter o valor de . Por exemplo, se você tivesse e , faria:
- Depois de calcular
, armazene calculando a função no ponto — esse será necessário para obter .
Passo 4
Como calcular
passo a passo (procedimento quando os dados existirem):\n
- Tenha disponíveis agora
(já calculados) e .\n - Aplique a fórmula com
:
- Numérico: substitua
e os valores numéricos para obter . Ou seja,
onde
são os valores numéricos
.\n
Observações importantes sobre prática em prova: calcule e guarde sistematicamente ,
e
. Use notação limpa para evitar confusão de índices. Faça as operações em frações ou com precisão suficiente antes de arredondar.
Observações importantes sobre prática em prova: calcule e guarde sistematicamente
Passo 5
O que fazer se você só tem
(ou seja, só
conhecido):\n
Método multistep exige . Se você só tem
, obtenha
e
por um método de arranque (por exemplo Runge–Kutta de ordem 4, que é padrão). O RK4 para obter
a partir de
é:\n
Método multistep exige
Use esse procedimento com
para calcular
(a partir de
) e depois
(a partir de
). Depois de ter
e seus respectivos
, você pode usar Adams–Bashforth para
e
como descrito.\n
Dica de prova: explique que você usou RK4 para arrancar se for pedido; em muitas provas é exigido justificar como obteve os valores iniciais.
Dica de prova: explique que você usou RK4 para arrancar se for pedido; em muitas provas é exigido justificar como obteve os valores iniciais.
Passo 6
Erros, ordem e arredondamento (para você não se enrolar na prova):\n
- O método de Adams–Bashforth de três passos tem ordem de consistência
(erro local de ordem e erro global de ordem ). Isso significa que reduzir melhora bastante a precisão.\n - Em cálculos manuais use frações exatas até o último momento e só então arredonde; se o enunciado pede arredondamento, indique claramente quantas casas.\n
- Verifique estabilidade: para problemas rígidos esse método explícito pode falhar, mas em provas típicas com EDOs suaves isso não costuma ser cobrado além de mencionar que é explícito e multi‑passo.
Resposta
Não é possível calcular
e
numericamente porque o enunciado não fornece a equação diferencial
nem os valores iniciais
(ou
e
) necessários para avaliar as expressões acima.