Questão 3. Utilize o Méthodo de Adams-Bashforth de Três passos para calcular aproximações para w_{3} e w_{4} \operatorname{com} h=0,2.

Passo 1

O enunciado pede que eu use o método de três passos de Adams–Bashforth para calcular aproximações para w_{3} e w_{4} com passo h=0,2.\n
Informações fornecidas explicitamente pelo enunciado: h=0,2.\n
Informações que são necessárias para executar os cálculos numéricos, mas que não foram fornecidas no enunciado: a equação diferencial \;y'=f(t,y)\;, o instante inicial t_0 (ou a sequência de t_n), e as aproximações iniciais \;w_0,\;w_1,\;w_2\; (ou y(t_0) mais um método para obter w_1,w_2).\n
Como esses dados são essenciais para obter valores numéricos de w_3 e w_4, não posso produzir os números finais sem eles. Nos passos seguintes eu vou explicar didaticamente tudo que você precisa saber para aplicar o método assim que tiver esses dados (fórmulas, procedimentos passo a passo e como obter w_1,w_2 se só existir y(t_0)).

Passo 2

O que é e qual a fórmula do método (explicação didática):\n
O método de Adams–Bashforth de três passos é um método multi‑passo explícito para aproximar soluções de \;y'=f(t,y)\;. Ele usa os valores das derivadas f em três pontos anteriores para prever o próximo valor w_{n+1}.\n
A fórmula padrão é:
w_{n+1}=w_{n}+ \frac{h}{12}\big(23\,f_{n}-16\,f_{n-1}+5\,f_{n-2}\big),
onde \;f_k=f(t_k,w_k)=f(t_0+k h,\;w_k).\n
Explicando cada símbolo de forma bem prática:\n
  • \;w_n é a aproximação numérica de y(t_n) no instante \;t_n=t_0+n h.\n
  • \;f_n é o valor da função do lado direito da EDO avaliada em (t_n,w_n), ou seja \;f_n=f(t_n,w_n).\n
  • \;h é o passo (aqui \;h=0,2).\n
    Interpretação: para obter w_{n+1} você parte de w_n e soma uma combinação linear das derivadas anteriores multiplicada por h. Os coeficientes 23,-16,5 vêm da integração do polinômio interpolador pelas três últimas derivadas.

Passo 3

Como calcular w_3 passo a passo (procedimento quando os dados existirem):\n
  1. Define os tempos: \;t_k=t_0+k h para k=0,1,2,3.\n
  2. Avalie \;f_0=f(t_0,w_0),\;f_1=f(t_1,w_1),\;f_2=f(t_2,w_2) — isso requer conhecer a EDO e os w_0,w_1,w_2.\n
  3. Aplique a fórmula com n=2 para obter w_3:
w_3 = w_2 + \frac{h}{12}\big(23\,f_2 -16\,f_1 +5\,f_0\big).
  1. Numérico: substitua h=0,2 e os valores numéricos de w_2,f_2,f_1,f_0 para obter o valor de w_3. Por exemplo, se você tivesse f_2=F_2,\;f_1=F_1,\;f_0=F_0 e w_2=W_2, faria:
w_3 = W_2 + \frac{0,2}{12}\big(23F_2-16F_1+5F_0\big).
  1. Depois de calcular w_3, armazene f_3=f(t_3,w_3) calculando a função f no ponto (t_3,w_3) — esse f_3 será necessário para obter w_4.

Passo 4

Como calcular w_4 passo a passo (procedimento quando os dados existirem):\n
  1. Tenha disponíveis agora f_1,f_2,f_3 (já calculados) e w_3.\n
  2. Aplique a fórmula com n=3:
w_4 = w_3 + \frac{h}{12}\big(23\,f_3 -16\,f_2 +5\,f_1\big).
  1. Numérico: substitua h=0,2 e os valores numéricos para obter w_4. Ou seja,
w_4 = w_3 + \frac{0,2}{12}\big(23F_3-16F_2+5F_1\big),
onde F_k são os valores numéricos f_k.\n
Observações importantes sobre prática em prova: calcule e guarde sistematicamente t_k, w_k e f_k. Use notação limpa para evitar confusão de índices. Faça as operações em frações ou com precisão suficiente antes de arredondar.

Passo 5

O que fazer se você só tem y(t_0)=y_0 (ou seja, só \;w_0\; conhecido):\n
Método multistep exige w_0,w_1,w_2. Se você só tem w_0, obtenha w_1 e w_2 por um método de arranque (por exemplo Runge–Kutta de ordem 4, que é padrão). O RK4 para obter w_{n+1} a partir de w_n é:\n
\begin{aligned} k_1 &= f(t_n,w_n),\\\ k_2 &= f\!\left(t_n+\tfrac{h}{2},\,w_n+\tfrac{h}{2}k_1\right),\\\ k_3 &= f\!\left(t_n+\tfrac{h}{2},\,w_n+\tfrac{h}{2}k_2\right),\\\ k_4 &= f(t_n+h,\,w_n+h k_3),\\\ w_{n+1} &= w_n + \frac{h}{6}\big(k_1+2k_2+2k_3+k_4\big). \end{aligned}
Use esse procedimento com h=0,2 para calcular w_1 (a partir de w_0) e depois w_2 (a partir de w_1). Depois de ter w_0,w_1,w_2 e seus respectivos f, você pode usar Adams–Bashforth para w_3 e w_4 como descrito.\n
Dica de prova: explique que você usou RK4 para arrancar se for pedido; em muitas provas é exigido justificar como obteve os valores iniciais.

Passo 6

Erros, ordem e arredondamento (para você não se enrolar na prova):\n
  • O método de Adams–Bashforth de três passos tem ordem de consistência 3 (erro local de ordem O(h^4) e erro global de ordem O(h^3)). Isso significa que reduzir h melhora bastante a precisão.\n
  • Em cálculos manuais use frações exatas até o último momento e só então arredonde; se o enunciado pede arredondamento, indique claramente quantas casas.\n
  • Verifique estabilidade: para problemas rígidos esse método explícito pode falhar, mas em provas típicas com EDOs suaves isso não costuma ser cobrado além de mencionar que é explícito e multi‑passo.

Resposta

Não é possível calcular w_3 e w_4 numericamente porque o enunciado não fornece a equação diferencial \;y'=f(t,y)\; nem os valores iniciais \;w_0,w_1,w_2\; (ou t_0 e y(t_0)) necessários para avaliar as expressões acima.

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