8 Considere o PVI
Obtenha aproximações para
e
considerando passo
.
Passo 1
O enunciado pede aproximações para
e
do problema de valor inicial
usando passo
. Informações dadas:
- Equação diferencial e condição inicial:
. - Passo para o método numérico:
. - Queremos valores aproximados nos pontos
e .
Não há indicação de qual método usar no enunciado — vamos escolher um método adequado nos passos seguintes.
Passo 2
Escolha do método e preparação da equação (explicação didática).
- Método escolhido: método de Euler explícito (forward Euler). Justificativa: o enunciado não exige método; pelo algoritmo que combinamos, escolhemos um método básico e ensinável. Euler é o método mais elementar para PVI e é ótimo para aprender o processo passo a passo. Se der tempo na prova, pode-se usar métodos mais precisos (Heun, RK4), mas Euler é suficiente para obter aproximações com
. - Fórmula do método de Euler: para
,
Aqui
é o ponto atual,
é a aproximação de
, e
é o passo.
- Simplificação útil da função que aparece na equação: observe que
logo
Isso simplifica muito os cálculos:
.
- Substituindo em Euler temos
Com
segue
. Definimos o fator multiplicativo
de modo que
Isso é prático: a cada passo basta calcular
e multiplicar
.
Passo 3
Cálculo dos passos de
até
(cada passo
; precisamos de 5 passos).
Vamos enumerar e calcular
e
.
Vamos enumerar
- Inicial:
, .
-
: .
-
: .
-
: .
-
: .
-
: .
Aqui
e portanto a aproximação por Euler para
é
Passo 4
Cálculo dos passos de
até
(mais 5 passos:
para alcançar
).
-
: .
-
: .
-
: .
-
: .
-
: .
Aqui
e portanto a aproximação por Euler para
é
Passo 5
Pequena verificação (útil para aprender): equação é separável/linear e tem solução exata que nos permite avaliar o erro.
- Resolver exatamente: como vimos
, integra-se
Com
obtemos solução exata
- Valores exatos (aproximados) para comparação:
Comparando com Euler:
por Euler ficou
(erro ~
) e
por Euler ficou
(erro ~
). Isso mostra que Euler com
aproxima razoavelmente
mas já acumula erro mais significativo até
. Se precisar de maior precisão na prova, use passo menor ou um método de ordem superior (Heun / RK4).