8 Considere o PVI
y^{\prime}=\frac{1+x^{3}}{3(1+x)} y, \quad y(0)=3
Obtenha aproximações para y(1) e y(2) considerando passo h=0.2.

Passo 1

O enunciado pede aproximações para y(1) e y(2) do problema de valor inicial
y'=\frac{1+x^{3}}{3(1+x)}\,y,\qquad y(0)=3,
usando passo h=0{,}2. Informações dadas:
  • Equação diferencial e condição inicial: y(0)=3.
  • Passo para o método numérico: h=0{,}2.
  • Queremos valores aproximados nos pontos x=1 e x=2.
    Não há indicação de qual método usar no enunciado — vamos escolher um método adequado nos passos seguintes.

Passo 2

Escolha do método e preparação da equação (explicação didática).
  • Método escolhido: método de Euler explícito (forward Euler). Justificativa: o enunciado não exige método; pelo algoritmo que combinamos, escolhemos um método básico e ensinável. Euler é o método mais elementar para PVI e é ótimo para aprender o processo passo a passo. Se der tempo na prova, pode-se usar métodos mais precisos (Heun, RK4), mas Euler é suficiente para obter aproximações com h=0{,}2.
  • Fórmula do método de Euler: para y'=f(x,y),
y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n).
Aqui x_n é o ponto atual, y_n é a aproximação de y(x_n), e h é o passo.
  • Simplificação útil da função que aparece na equação: observe que
1+x^{3}=(1+x)(1-x+x^{2}),
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\frac{1+x^{3}}{3(1+x)}=\frac{1-x+x^{2}}{3}.
Isso simplifica muito os cálculos: f(x,y)=\dfrac{1-x+x^{2}}{3}\,y.
  • Substituindo em Euler temos
y_{n+1}=y_n+h\cdot\frac{1-x_n+x_n^{2}}{3}\,y_n = y_n\left(1+\frac{h}{3}(1-x_n+x_n^{2})\right).
Com h=0{,}2=\tfrac{1}{5} segue h/3=\tfrac{1}{15}. Definimos o fator multiplicativo
M(x_n)=1+\frac{1}{15}\bigl(1-x_n+x_n^{2}\bigr),
de modo que
y_{n+1}=y_n\,M(x_n).
Isso é prático: a cada passo basta calcular M(x_n) e multiplicar y_n.

Passo 3

Cálculo dos passos de x=0 até x=1 (cada passo h=0{,}2; precisamos de 5 passos).
Vamos enumerar x_n=0{,}2n e calcular M(x_n) e y_{n+1}.
  • Inicial: x_0=0, y_0=3.
  1. n=0: x_0=0.
1-x_0+x_0^{2}=1.
M(x_0)=1+\frac{1}{15}\cdot 1=\frac{16}{15}.
y_1=y_0\,M(x_0)=3\cdot\frac{16}{15}=\frac{48}{15}=\frac{16}{5}=3{,}2.
  1. n=1: x_1=0{,}2=\tfrac{1}{5}.
1-x_1+x_1^{2}=1-\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{25}=\tfrac{21}{25}.
M(x_1)=1+\frac{1}{15}\cdot\frac{21}{25}=1+\frac{21}{375}=\frac{396}{375}=\frac{132}{125}=1{,}056.
y_2=y_1\,M(x_1)=\frac{16}{5}\cdot\frac{132}{125}=\frac{2112}{625}=3{,}3792.
  1. n=2: x_2=0{,}4=\tfrac{2}{5}.
1-x_2+x_2^{2}=1-\tfrac{2}{5}+\tfrac{4}{25}=\tfrac{19}{25}.
M(x_2)=1+\frac{1}{15}\cdot\frac{19}{25}=1+\frac{19}{375}=\frac{394}{375}\approx 1{,}050666\ldots
y_3=y_2\,M(x_2)=\frac{2112}{625}\cdot\frac{394}{375}=\frac{832128}{234375}\approx 3{,}5504128.
  1. n=3: x_3=0{,}6=\tfrac{3}{5}.
1-x_3+x_3^{2}=1-\tfrac{3}{5}+\tfrac{9}{25}=\tfrac{19}{25}\quad(\text{mesmo que em }x_2).
M(x_3)=\frac{394}{375}\quad(\text{idem}).
y_4=y_3\,M(x_3)\approx 3{,}5504128\cdot 1{,}050666\ldots \approx 3{,}730300382.
  1. n=4: x_4=0{,}8=\tfrac{4}{5}.
1-x_4+x_4^{2}=1-\tfrac{4}{5}+\tfrac{16}{25}=\tfrac{21}{25}.
M(x_4)=1+\frac{21}{375}=\frac{396}{375}=\frac{132}{125}=1{,}056.
y_5=y_4\,M(x_4)\approx 3{,}730300382\cdot 1{,}056 \approx 3{,}9391972034.
Aqui x_5=1{,}0 e portanto a aproximação por Euler para y(1) é
y(1)\approx y_5\approx 3{,}9391972034.

Passo 4

Cálculo dos passos de x=1 até x=2 (mais 5 passos: n=5,\dots,9 para alcançar x_{10}=2).
  1. n=5: x_5=1{,}0.
1-x_5+x_5^{2}=1-1+1=1,\qquad M(x_5)=\frac{16}{15}=1{,}066666\ldots
y_6=y_5\,M(x_5)\approx 3{,}9391972034\cdot\frac{16}{15}\approx 4{,}2018103503.
  1. n=6: x_6=1{,}2=\tfrac{6}{5}.
1-x_6+x_6^{2}=1-\tfrac{6}{5}+\tfrac{36}{25}=\tfrac{31}{25}.
M(x_6)=1+\frac{31}{375}=\frac{406}{375}\approx 1{,}082666\ldots
y_7=y_6\,M(x_6)\approx 4{,}2018103503\cdot\frac{406}{375}\approx 4{,}5491600060.
  1. n=7: x_7=1{,}4=\tfrac{7}{5}.
1-x_7+x_7^{2}=1-\tfrac{7}{5}+\tfrac{49}{25}=\tfrac{39}{25}.
M(x_7)=1+\frac{39}{375}=\frac{414}{375}=\frac{138}{125}=1{,}104.
y_8=y_7\,M(x_7)\approx 4{,}5491600060\cdot 1{,}104\approx 5{,}0222726466.
  1. n=8: x_8=1{,}6=\tfrac{8}{5}.
1-x_8+x_8^{2}=1-\tfrac{8}{5}+\tfrac{64}{25}=\tfrac{49}{25}.
M(x_8)=1+\frac{49}{375}=\frac{424}{375}\approx 1{,}130666\ldots
y_9=y_8\,M(x_8)\approx 5{,}0222726466\cdot\frac{424}{375}\approx 5{,}6785162714.
  1. n=9: x_9=1{,}8=\tfrac{9}{5}.
1-x_9+x_9^{2}=1-\tfrac{9}{5}+\tfrac{81}{25}=\tfrac{61}{25}.
M(x_9)=1+\frac{61}{375}=\frac{436}{375}\approx 1{,}162666\ldots
y_{10}=y_9\,M(x_9)\approx 5{,}6785162714\cdot\frac{436}{375}\approx 6{,}6022215849.
Aqui x_{10}=2{,}0 e portanto a aproximação por Euler para y(2) é
y(2)\approx y_{10}\approx 6{,}6022215849.

Passo 5

Pequena verificação (útil para aprender): equação é separável/linear e tem solução exata que nos permite avaliar o erro.
  • Resolver exatamente: como vimos \dfrac{1+x^{3}}{3(1+x)}=\dfrac{1-x+x^{2}}{3}, integra-se
\int \frac{1-x+x^{2}}{3}\,dx=\frac{1}{3}\Bigl(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}\Bigr)+C.
Com y(0)=3 obtemos solução exata
y(x)=3\exp\!\left(\frac{1}{3}\Bigl(x-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr)\right).
  • Valores exatos (aproximados) para comparação:
y(1)=3\exp\!\left(\frac{5}{18}\right)\approx 3{,}9609\ldots, \qquad y(2)=3\exp\!\left(\frac{8}{9}\right)\approx 7{,}2960\ldots
Comparando com Euler: y(1) por Euler ficou 3{,}939197\ldots (erro ~ 0{,}0217) e y(2) por Euler ficou 6{,}602222\ldots (erro ~ 0{,}6938). Isso mostra que Euler com h=0{,}2 aproxima razoavelmente y(1) mas já acumula erro mais significativo até x=2. Se precisar de maior precisão na prova, use passo menor ou um método de ordem superior (Heun / RK4).

Resposta

y(1)\approx 3{,}9391972034
y(2)\approx 6{,}6022215849

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