- Se
e
são números reais positivos tais que
, determine o valor de
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor da expressão
sabendo que
e
são números reais positivos e que
Informações dadas:
-
e . -
. - Deseja-se o valor da expressão
.
Passo 2
Primeiro vamos transformar a equação dada em uma forma mais fácil de usar. Partimos de
Colocando no mesmo denominador obtemos
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo, pois
e
):
Esta relação é muito útil porque relaciona
diretamente com
. A partir daqui podemos expressar uma variável em função da outra; por exemplo, isolando
:
Passo 3
Agora vamos simplificar a expressão pedida usando a relação
(às vezes é mais rápido usar essa relação em vez de substituir
em termos de
). Escrevemos a expressão e separamos numerador e denominador:
Use a relação
para eliminar
quando conveniente.
Passo 4
Calculemos
usando
. Observando que
, temos
Passo 5
Agora calculemos
usando a mesma relação:
Passo 6
Portanto a expressão inteira vale
Como
e
, podemos simplificar
nos numerador e denominador:
Simplificando a fração dividindo por
:
Passo 7
Checagem rápida (opcional para confiança): usando, por exemplo,
então
. Calculando numericamente a expressão obtém-se aproximadamente
, que é
. Isso confirma a simplificação simbólica.