1. Se \mathbf{x} e \mathbf{t} são números reais positivos tais que \frac{1}{x}-\frac{1}{t}=42, determine o valor de \frac{x(60 t+1)-t}{t(3 x+1)-x}.
    a) 3 / 5
    b) 3 / 4
    c) 1 / 5
    d) 2 / 3

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor da expressão
\frac{x(60t+1)-t}{t(3x+1)-x}
sabendo que x e t são números reais positivos e que
\frac{1}{x}-\frac{1}{t}=42.
Informações dadas:
  • x>0 e t>0.
  • \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{t}=42.
  • Deseja-se o valor da expressão \dfrac{x(60t+1)-t}{t(3x+1)-x}.

Passo 2

Primeiro vamos transformar a equação dada em uma forma mais fácil de usar. Partimos de
\frac{1}{x}-\frac{1}{t}=42.
Colocando no mesmo denominador obtemos
\frac{t-x}{xt}=42.
Multiplicando ambos os lados por xt (que é positivo, pois x>0 e t>0):
t-x=42xt.
Esta relação é muito útil porque relaciona t-x diretamente com xt. A partir daqui podemos expressar uma variável em função da outra; por exemplo, isolando x:
t=x+42xt \quad\Rightarrow\quad t=x(1+42t) \quad\Rightarrow\quad x=\frac{t}{1+42t}.

Passo 3

Agora vamos simplificar a expressão pedida usando a relação t-x=42xt (às vezes é mais rápido usar essa relação em vez de substituir x em termos de t). Escrevemos a expressão e separamos numerador e denominador:
\text{Numerador }N = x(60t+1)-t = 60xt + x - t,
\text{Denominador }D = t(3x+1)-x = 3tx + t - x.
Use a relação t-x=42xt para eliminar t-x quando conveniente.

Passo 4

Calculemos N usando t-x=42xt. Observando que x - t = -(t-x) = -42xt, temos
N = 60xt + x - t = 60xt - (t - x) = 60xt - 42xt = 18xt.

Passo 5

Agora calculemos D usando a mesma relação:
D = 3tx + t - x = 3tx + (t - x) = 3tx + 42xt = 45xt.

Passo 6

Portanto a expressão inteira vale
\frac{N}{D}=\frac{18xt}{45xt}.
Como x>0 e t>0, podemos simplificar xt nos numerador e denominador:
\frac{18xt}{45xt}=\frac{18}{45}.
Simplificando a fração dividindo por 9:
\frac{18}{45}=\frac{2}{5}.

Passo 7

Checagem rápida (opcional para confiança): usando, por exemplo, t=1 então x=\dfrac{1}{1+42}=\dfrac{1}{43}. Calculando numericamente a expressão obtém-se aproximadamente 0,4, que é \dfrac{2}{5}. Isso confirma a simplificação simbólica.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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