1. O valor de M=4 \sqrt{4-2 \sqrt{3}}+\sqrt{97-56 \sqrt{3}} é:
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

Passo 1

O enunciado dá o número
M = 4\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{97-56\sqrt{3}}
e pede que se identifique qual alternativa corresponde ao valor de M:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • As expressões dentro das raízes são números com a forma A-B\sqrt{3}.
  • É esperado que a gente simplifique cada raiz (possivelmente reconhecendo quadrados de binômios do tipo x\pm y\sqrt{3}) e some os resultados.

Passo 2

Vamos simplificar a primeira raiz \sqrt{4-2\sqrt{3}}. Procure um quadrado perfeito do tipo (\sqrt{3}-1)^2. Calculemos esse quadrado para verificar:
(\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot(-1) = 3 + 1 - 2\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3}.
Portanto
\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}.
Como \sqrt{3}-1>0, a raiz principal é
\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1.
Multiplicando por 4 (do primeiro termo de M):
4\sqrt{4-2\sqrt{3}} = 4(\sqrt{3}-1) = 4\sqrt{3}-4.

Passo 3

Agora simplificamos a segunda raiz \sqrt{97-56\sqrt{3}}. Vamos procurar representá-la como quadrado de um binômio da forma a-b\sqrt{3} com a,b inteiros positivos. Calcule o quadrado geral:
(a-b\sqrt{3})^2 = a^2 + 3b^2 - 2ab\sqrt{3}.
Para que isso seja igual a 97-56\sqrt{3} precisamos que
a^2 + 3b^2 = 97 \qquad\text{e}\qquad 2ab = 56.
Da segunda equação vem ab=28. Vamos testar pares inteiros positivos (a,b) com produto 28: (1,28),(2,14),(4,7),(7,4),(14,2),(28,1). Teste (a,b)=(7,4):
a^2 + 3b^2 = 7^2 + 3\cdot 4^2 = 49 + 3\cdot16 = 49 + 48 = 97,
e 2ab = 2\cdot7\cdot4 = 56. Portanto
(7-4\sqrt{3})^2 = 97 - 56\sqrt{3}.
Agora precisamos escolher o sinal correto da raiz: calcule aproximadamente 7-4\sqrt{3}:
7 - 4\sqrt{3} \approx 7 - 4\cdot1{,}732 \approx 7 - 6{,}928 \approx 0{,}072>0.
Como é positivo, a raiz principal é
\sqrt{97-56\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3}.

Passo 4

Agora somamos os dois resultados obtidos. Lembre que do primeiro termo obtivemos 4\sqrt{3}-4 e do segundo 7-4\sqrt{3}. Então
M = \big(4\sqrt{3}-4\big) + \big(7-4\sqrt{3}\big).
Agrupando termos semelhantes:
M = 4\sqrt{3} - 4 + 7 - 4\sqrt{3} = (-4 + 7) + (4\sqrt{3}-4\sqrt{3}) = 3 + 0 = 3.

Passo 5

Conclusão: o valor de M é 3. Isso corresponde à alternativa (c). Força aí — deu trabalho mas foi só reconhecimento de quadrados e um pouco de paciência!

Resposta

c) 3

Exercícios relacionados