- Quantos são os possíveis restos de um quadrado perfeito na divisão por 6 ?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Passo 1
O enunciado pergunta quantos restos diferentes um quadrado perfeito pode deixar ao dividir por
.
Informações importantes que temos:
Informações importantes que temos:
- Quando dividimos por
, os restos possíveis (todos os que podem aparecer) são . - Queremos saber, entre esses restos, quais aparecem como resto de algum número ao quadrado (isto é, de um quadrado perfeito).
Passo 2
Método direto: testar os restos
a
. Para cada
calculamos
e reduzimos módulo
.
Passo 3
Do cálculo do passo anterior, os restos que aparecem são
. Note que
e
não surgiram. Agora contamos quantos restos distintos obtivemos: há exatamente
restos diferentes.
Passo 4
Uma explicação alternativa (útil na prova, quando quiser justificar rápido): olhar separadamente módulo
e módulo
.
- Quadrados módulo
só podem ser (número par) ou (número ímpar). - Quadrados módulo
só podem ser ou .
Combinações possíveissão . Pelo Teorema Chinês dos Resíduos (ou por checar quais números entre e têm essas paridades), essas combinações correspondem exatamente aos restos respectivamente. Novamente aparecem quatro restos distintos.
Passo 5
Resumo prático para a prova: para saber rapidamente os restos possíveis de quadrados mod
, pode testar
a
ou usar a decomposição em mod
e mod
. Em ambos os casos os restos possíveis são
, totalizando
possibilidades — portanto a alternativa correta é a de quatro restos.
Resposta
d)