1. Quantos são os possíveis restos de um quadrado perfeito na divisão por 6 ?
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

Passo 1

O enunciado pergunta quantos restos diferentes um quadrado perfeito pode deixar ao dividir por 6.
Informações importantes que temos:
  • Quando dividimos por 6, os restos possíveis (todos os que podem aparecer) são 0,1,2,3,4,5.
  • Queremos saber, entre esses restos, quais aparecem como resto de algum número ao quadrado (isto é, de um quadrado perfeito).

Passo 2

Método direto: testar os restos 0 a 5. Para cada k\in\{0,1,2,3,4,5\} calculamos k^2 e reduzimos módulo 6.
0^2 = 0 \equiv 0 \pmod{6}
1^2 = 1 \equiv 1 \pmod{6}
2^2 = 4 \equiv 4 \pmod{6}
3^2 = 9 \equiv 3 \pmod{6} (pois 9-6=3)
4^2 = 16 \equiv 4 \pmod{6} (pois 16-12=4)
5^2 = 25 \equiv 1 \pmod{6} (pois 25-24=1)

Passo 3

Do cálculo do passo anterior, os restos que aparecem são 0,1,3,4. Note que 2 e 5 não surgiram. Agora contamos quantos restos distintos obtivemos: há exatamente \,4\, restos diferentes.

Passo 4

Uma explicação alternativa (útil na prova, quando quiser justificar rápido): olhar separadamente módulo 2 e módulo 3.
  • Quadrados módulo 2 só podem ser 0 (número par) ou 1 (número ímpar).
  • Quadrados módulo 3 só podem ser 0 ou 1.
    Combinações possíveis (\text{mod }2,\text{ mod }3) são (0,0),(0,1),(1,0),(1,1). Pelo Teorema Chinês dos Resíduos (ou por checar quais números entre 0 e 5 têm essas paridades), essas combinações correspondem exatamente aos restos 0,4,3,1 respectivamente. Novamente aparecem quatro restos distintos.

Passo 5

Resumo prático para a prova: para saber rapidamente os restos possíveis de quadrados mod 6, pode testar 0 a 5 ou usar a decomposição em mod 2 e mod 3. Em ambos os casos os restos possíveis são 0,1,3,4, totalizando \,4\, possibilidades — portanto a alternativa correta é a de quatro restos.

Resposta

d) 4

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