1. Em uma sequência de números, a soma dos \mathbf{n} primeiros termos é igual a 5 n^{2}+6 n. Qual é a soma dos 3^{\circ}, 4^{\circ} e 5^{\circ} termos da sequência original?
    a) 123
    b) 121
    c) 153
    d) 93

Passo 1

O enunciado dá a soma dos n primeiros termos de uma sequência (ou seja, a soma parcial) igual a
S(n)=5 n^{2}+6 n.
A pergunta é: qual é a soma dos 3^{\circ}, 4^{\circ} e 5^{\circ} termos da sequência original?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função que dá a soma dos n primeiros termos é S(n)=5 n^{2}+6 n.
  • Pede-se o valor de a_{3}+a_{4}+a_{5}, onde a_{k} denota o k-ésimo termo da sequência original.

Passo 2

Conceito e fórmula-chave (explicação passo a passo): a soma parcial S(n) é definida como
S(n)=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}.
Daí, o termo individual a_{n} pode ser obtido subtraindo a soma parcial anterior:
a_{n}=S(n)-S(n-1).
Por que isso funciona? Porque
S(n)-S(n-1)=(a_{1}+\cdots+a_{n})-(a_{1}+\cdots+a_{n-1})=a_{n}.
Isso é muito útil: conseguimos extrair cada termo da sequência apenas conhecendo S(n). Outra observação prática: a soma de um bloco de termos, por exemplo a_{p}+a_{p+1}+\cdots+a_{q}, é simplesmente
\sum_{k=p}^{q}a_{k}=S(q)-S(p-1),
porque os termos até p-1 se cancelam (telescopia). Isso permite calcular a_{3}+a_{4}+a_{5} rapidamente como S(5)-S(2).

Passo 3

Calcular as somas parciais necessárias (cada passo com contas detalhadas):
S(2)=5\cdot 2^{2}+6\cdot 2=5\cdot 4+12=20+12=32.
S(3)=5\cdot 3^{2}+6\cdot 3=5\cdot 9+18=45+18=63.
S(4)=5\cdot 4^{2}+6\cdot 4=5\cdot 16+24=80+24=104.
S(5)=5\cdot 5^{2}+6\cdot 5=5\cdot 25+30=125+30=155.

Passo 4

Achar os termos individuais usando a_{n}=S(n)-S(n-1):
a_{3}=S(3)-S(2)=63-32=31.
a_{4}=S(4)-S(3)=104-63=41.
a_{5}=S(5)-S(4)=155-104=51.

Passo 5

Somar os termos pedidOs (duas formas, ambas equivalentes; mostro as duas para treinar):
Forma direta somando os termos individuais:
a_{3}+a_{4}+a_{5}=31+41+51.
Fazendo a adição passo a passo:
31+41=72,\qquad 72+51=123.
Forma usando telescopia (mais rápida): usar S(5)-S(2),
a_{3}+a_{4}+a_{5}=S(5)-S(2)=155-32=123,
que confirma o resultado anterior.

Resposta

a) 123

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