\mathbf{3}^{\text {a }} ) Considere a função f(x)=\exp (-\mathbf{5 x})-\log (\mathbf{0 . 2 x}). Estime o zero da função utilizando o método de Newton-Raphson e o chute inicial x=1. Como critério de parada, estabelece-se que |x[n]-x[n-1]|<10^{-5}, onde x[n] é a estimativa da raiz no passo n.

Solução:

f(x)=\exp (-5 x)-\log (0.2 x)
g(x)=f^{\prime}(x)=-5 \exp (-5 x)-1 / x
Chute inicial: x[0]=1
Critério de parada: |x[n]-x[n-1]|<1 E-05

Passo #1

x[1]=x[0]-f(1.0000000000 E+00) / g(1.0000000000 E+00)
\mathrm{x}[1]=1.0000000000 \mathrm{E}+00-(1.6161758594 \mathrm{E}+00) /(-1.0336897350 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[1]=2.5635018949 \mathrm{E}+00
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[1]-\mathrm{x}[0]|=1.5635018949 \mathrm{E}+00 \geq 1.00 \mathrm{E}-05

Passo #2

x[2]=x[1]-f(2.5635018949 E+00) / g(2.5635018949 E+00)
\mathrm{x}[2]=2.5635018949 \mathrm{E}+00-(6.6806637385 \mathrm{E}-01) /(-3.9010494746 \mathrm{E}-01)
\mathrm{x}[2]=4.2760317621 \mathrm{E}+00
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[2]-\mathrm{x}[1]|=1.7125298672 \mathrm{E}+00 \geq 1.00 \mathrm{E}-05

Passo #3

x[3]=x[2]-f(4.2760317621 E+00) / g(4.2760317621 E+00)
\mathrm{x}[3]=4.2760317621 \mathrm{E}+00-(1.5641249182 \mathrm{E}-01) /(-2.3386168923 \mathrm{E}-01)
\mathrm{x}[3]=4.9448565377 \mathrm{E}+00
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[3]-\mathrm{x}[2]|=6.6882477562 \mathrm{E}-01 \geq 1.00 \mathrm{E}-05

Passo #4

x[4]=x[3]-f(4.9448565377 E+00) / g(4.9448565377 E+00)
\mathrm{x}[4]=4.9448565377 \mathrm{E}+00-(1.1089959383 \mathrm{E}-02) /(-2.0223033627 \mathrm{E}-01)
\mathrm{x}[4]=4.9996947958 \mathrm{E}+00
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[4]-\mathrm{x}[3]|=5.4838258134 \mathrm{E}-02 \geq 1.00 \mathrm{E}-05

Passo #5

\mathrm{x}[5]=\mathrm{x}[4]-\mathrm{f}(4.9996947958 \mathrm{E}+00) / \mathrm{g}(4.9996947958 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[5]=4.9996947958 \mathrm{E}+00-(6.1042707341 \mathrm{E}-05) /(-2.0001220898 \mathrm{E}-01)
\mathrm{x}[5]=4.9999999908 \mathrm{E}+00
Verificação do Critério de parada: |x[5]-x[4]|=3.0519490611 E-04 \geq 1.00 E-05

Passo #6

x[6]=x[5]-f(4.9999999908 E+00) / g(4.9999999908 E+00)
\mathrm{x}[6]=4.9999999908 \mathrm{E}+00-(1.8630302300 \mathrm{E}-09) /(-2.0000000044 \mathrm{E}-01)
\mathrm{x}[6]=5.0000000001 \mathrm{E}+00
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[6]-\mathrm{x}[5]|=9.3151513170 \mathrm{E}-09<1.00 \mathrm{E}-05

O zero da função \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) é, aproximadamente, (\boldsymbol{x}=\mathbf{5 . 0 0 0 0}.

)

Passo 1

O enunciado pede para estimar o zero da função usando o método de Newton-Raphson com chute inicial x[0]=1 e critério de parada |x[n]-x[n-1]|<10^{-5}.
Informações dadas:
f(x)=\exp(-5x)-\log(0{,}2x)
chute inicial: x[0]=1
critério de parada: |x[n]-x[n-1]|<10^{-5}.

Passo 2

O método de Newton-Raphson usa a aproximação linear da função em torno de x[n]: a raiz da reta tangente é a próxima estimativa. A fórmula iterativa é
x[n+1]=x[n]-\frac{f(x[n])}{f'(x[n])}.
Aqui f'(x) é a derivada de f, que representa a inclinação da curva em x. Para aplicar o método precisamos da expressão de f'(x) e garantir que f'(x[n])\neq 0 e que x[n] esteja no domínio de f. Observação sobre domínio: \log(0{,}2x) exige 0{,}2x>0\Rightarrow x>0. O chute x[0]=1 é válido.

Passo 3

Calculamos explicitamente a derivada:
f(x)=\exp(-5x)-\log(0{,}2x)
A derivada de \exp(-5x) é -5\exp(-5x). A derivada de -\log(0{,}2x) em relação a x é -\dfrac{1}{x} (porque \log(0{,}2x)=\log(0{,}2)+\log(x) e \dfrac{d}{dx}\log(x)=1/x). Logo
f'(x)=-5\exp(-5x)-\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora aplicamos a iteração de Newton passo a passo. Começando com x[0]=1.
Avaliação em x[0]=1:
f(1)=\exp(-5)-\log(0{,}2)=0{,}006737946999085467-\bigl(-1{,}6094379124341003\bigr)=1{,}616175859434
f'(1)=-5\exp(-5)-1=-0{,}033689734995427335-1=-1{,}0336897349954273
Aplicando a fórmula:
x[1]=1-\frac{1{,}616175859434}{-1{,}0336897349954273}=1+1{,}5635018949=2{,}5635018949.
Diferença: |x[1]-x[0]|=1{,}5635018949\ge 10^{-5}. Não paramos.

Passo 5

Avaliação em x[1]=2{,}5635018949:
0{,}2x[1]=0{,}51270037898,\qquad \log(0{,}2x[1])=\log(0{,}51270037898)=-0{,}66806637385
\exp(-5x[1])=\exp(-12{,}8175094745)\approx 0{,}000002692\\ (\text{praticamente desprezível})í
f(x[1])=\exp(-5x[1])-\log(0{,}2x[1])\approx 0{,}000002692-(-0{,}66806637385)=0{,}66806637385
f'(x[1])=-5\exp(-5x[1])-\frac{1}{x[1]}\approx 0-0{,}39010494746=-0{,}39010494746
x[2]=x[1]-\frac{0{,}66806637385}{-0{,}39010494746}=2{,}5635018949+1{,}7125298672=4{,}2760317621.
Diferença: |x[2]-x[1]|=1{,}7125298672\ge 10^{-5}. Continua.

Passo 6

Avaliação em x[2]=4{,}2760317621:
0{,}2x[2]=0{,}85520635242,\qquad \log(0{,}2x[2])=\log(0{,}85520635242)=-0{,}15641249182
\exp(-5x[2])=\exp(-21{,}3801588105)\approx 5{,}6\times10^{-10}\\ (\text{muito pequeno})
f(x[2])\approx 5{,}6\times10^{-10}-(-0{,}15641249182)=0{,}15641249182
f'(x[2])\approx -5\cdot 5{,}6\times10^{-10}-\frac{1}{4{,}2760317621}\approx -0{,}23386168923
x[3]=4{,}2760317621-\frac{0{,}15641249182}{-0{,}23386168923}=4{,}2760317621+0{,}6688247756=4{,}9448565377.
Diferença: |x[3]-x[2]|=0{,}6688247756\ge 10^{-5}. Continua.

Passo 7

Avaliação em x[3]=4{,}9448565377:
0{,}2x[3]=0{,}98897130754,\qquad \log(0{,}2x[3])=\log(0{,}98897130754)=-0{,}011089959383
\exp(-5x[3])=\exp(-24{,}7242826885)\approx 1{,}1\times10^{-11}\\ (\text{negligenciável})á
f(x[3])\approx 1{,}1\times10^{-11}-(-0{,}011089959383)=0{,}011089959383
f'(x[3])\approx -5\cdot 1{,}1\times10^{-11}-\frac{1}{4{,}9448565377}\approx -0{,}20223033627
x[4]=4{,}9448565377-\frac{0{,}011089959383}{-0{,}20223033627}=4{,}9448565377+0{,}0548382581=4{,}9996947958.
Diferença: |x[4]-x[3]|=0{,}0548382581\ge 10^{-5}. Continua.

Passo 8

Avaliação em x[4]=4{,}9996947958:
0{,}2x[4]=0{,}99993895916,\qquad \log(0{,}2x[4])=\log(0{,}99993895916)=-0{,}000061042707341
\exp(-5x[4])=\exp(-24{,}998473979)\approx 1{,}9\times10^{-11}
f(x[4])\approx 1{,}9\times10^{-11}-(-0{,}000061042707341)=0{,}000061042707341
f'(x[4])\approx -5\cdot 1{,}9\times10^{-11}-\frac{1}{4{,}9996947958}\approx -0{,}20001220898
x[5]=4{,}9996947958-\frac{0{,}000061042707341}{-0{,}20001220898}=4{,}9996947958+0{,}0003051991=4{,}9999999908.
Diferença: |x[5]-x[4]|=0{,}0003051991\ge 10^{-5}. Ainda acima do critério.

Passo 9

Avaliação em x[5]=4{,}9999999908:
0{,}2x[5]=0{,}99999999816,\qquad \log(0{,}2x[5])\approx -0{,}00000000186303023
\exp(-5x[5])=\exp(-25{,}0000000)\approx 1{,}4\times10^{-11}
f(x[5])\approx 1{,}4\times10^{-11}-(-0{,}00000000186303023)=0{,}0000000018630302300
f'(x[5])\approx -5\cdot 1{,}4\times10^{-11}-\frac{1}{4{,}9999999908}\approx -0{,}20000000044
x[6]=4{,}9999999908-\frac{0{,}0000000018630302300}{-0{,}20000000044}=4{,}9999999908+0{,}0000000093151513170=5{,}0000000001.
Diferença: |x[6]-x[5]|=0{,}0000000093151513170<10^{-5}. O critério de parada foi satisfeito, então paramos aqui.

Resposta

x\approx 5{,}0000000001

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