) Considere a função
. Estime o zero da função utilizando o método de Newton-Raphson e o chute inicial
. Como critério de parada, estabelece-se que
, onde
é a estimativa da raiz no passo
.
Solução:
Chute inicial:
Critério de parada:
Passo #1
Verificação do Critério de parada:
Passo #2
Verificação do Critério de parada:
Passo #3
Verificação do Critério de parada:
Passo #4
Verificação do Critério de parada:
Passo #5
Verificação do Critério de parada:
Passo #6
Verificação do Critério de parada:
O zero da função
é, aproximadamente, (\boldsymbol{x}=\mathbf{5 . 0 0 0 0}.
)
Chute inicial:
Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Passo 1
O enunciado pede para estimar o zero da função usando o método de Newton-Raphson com chute inicial
e critério de parada
.
Informações dadas:
Informações dadas:
chute inicial:
critério de parada: .
critério de parada:
Passo 2
O método de Newton-Raphson usa a aproximação linear da função em torno de
: a raiz da reta tangente é a próxima estimativa. A fórmula iterativa é
Aqui
é a derivada de
, que representa a inclinação da curva em
. Para aplicar o método precisamos da expressão de
e garantir que
e que
esteja no domínio de
. Observação sobre domínio:
exige
. O chute
é válido.
Passo 3
Calculamos explicitamente a derivada:
A derivada de
é
. A derivada de
em relação a
é
(porque
e
). Logo
Passo 4
Agora aplicamos a iteração de Newton passo a passo. Começando com
.
Avaliação em
:
Aplicando a fórmula:
Diferença:
. Não paramos.
Passo 5
Avaliação em
:
Diferença:
. Continua.
Passo 6
Avaliação em
:
Diferença:
. Continua.
Passo 7
Avaliação em
:
Diferença:
. Continua.
Passo 8
Avaliação em
:
Diferença:
. Ainda acima do critério.
Passo 9
Avaliação em
:
Diferença:
. O critério de parada foi satisfeito, então paramos aqui.