) Considere a função
. Estime o zero da função utilizando o método de Newton-Raphson e o chute inicial
. Como critério de parada, estabelece-se que
, onde
é a estimativa da raiz no passo
.
Solução:
.
Chute inicial:
Passo 1:
Verificação do Critério de parada:
Passo 2:
Verificação do Critério de parada:
Passo 3:
Verificação do Critério de parada:
Passo 4:
Verificação do Critério de parada:
O zero da função
é, aproximadamente,
.
Chute inicial:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Estimar o zero (a raiz) da função
usando o método de Newton-Raphson, com chute inicial e critério de parada .
Informações relevantes dadas:
- Função:
. - Derivada (necessária para Newton):
. - Chute inicial:
. - Critério de parada:
.
Passo 2
Breve explicação do método (fórmula e significado):
- O método de Newton-Raphson aproxima a raiz usando a reta tangente em
. A fórmula de iteração é
Aqui
é a estimativa atual,
é o valor da função nessa estimativa e
é a derivada nesse ponto. O quociente
é o deslocamento sugerido pela reta tangente para aproximar a raiz.
Agora aplicamos a fórmula numericamente com
.
Cálculo do primeiro passo:
- Calcule
. - Calcule
. - Use a fórmula:
Passo 3
Verificação do critério após o primeiro passo:
- Diferença:
. - Como
, não satisfaz o critério; continuamos.
Passo 4
Cálculo do segundo passo (
):
- Calcule
. - Calcule
. - Iteração:
Passo 5
Verificação do critério após o segundo passo:
- Diferença:
. - Como
, continuamos.
Passo 6
Cálculo do terceiro passo (
):
- Calcule
. - Calcule
. - Iteração:
Passo 7
Verificação do critério após o terceiro passo:
- Diferença:
. - Como
, continuamos.
Passo 8
Cálculo do quarto passo (
):
- Calcule
(valor muito pequeno). - Calcule
. - Iteração:
Passo 9
Verificação final do critério e conclusão:
- Diferença:
. - Como
, o critério de parada é satisfeito. - Concluímos que a raiz foi estimada com a precisão desejada; encorajo você: esse processo converge rápido quando a derivada não é nula perto da raiz — é normal ter que fazer 3–4 iterações como aqui.