2^{\text {a }} ) Considere a função f(x)=\cos (x)-\log (x). Estime o zero da função utilizando o método de Newton-Raphson e o chute inicial x=2. Como critério de parada, estabelece-se que |x[n]-x[n-1]|<10^{-5}, onde x[n] é a estimativa da raiz no passo n.

Solução:

f(\mathrm{x})=\cos (x)-\log (x)
g(x)=f^{\prime}(x)=-\sin (x)-1 / x.
Chute inicial: x[0]=2

Passo 1:

\mathrm{x}[1]=\mathrm{x}[0]-\mathrm{f}(2.0) / \mathrm{g}(2.0)
\mathrm{x}[1]=2.0-(-1.1092940171 \mathrm{E}+00) /(-1.4092974268 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[1]=1.2128744465 \mathrm{E}+00
Verificação do Critério de parada: |x[1]-x[0]|=7.8712555348 E-01 \geq 1.00 E-05

Passo 2:

\mathrm{x}[2]=\mathrm{x}[1]-\mathrm{f}(1.2128744465 \mathrm{E}+00) / \mathrm{g}(1.2128744465 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[2]=1.2128744465 \mathrm{E}+00-(1.5733545034 \mathrm{E}-01) /(-1.7611145185 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[2]=1.3022130152 \mathrm{E}+00
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[2]-\mathrm{x}[1]|=8.9338568662 \mathrm{E}-02 \geq 1.00 \mathrm{E}-05

Passo 3:

\mathrm{x}[3]=\mathrm{x}[2]-\mathrm{f}(1.3022130152 \mathrm{E}+00) / \mathrm{g}(1.3022130152 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[3]=1.3022130152 \mathrm{E}+00-(1.3006699070 \mathrm{E}-03) /(-1.7320713226 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[3]=1.3029639484 \mathrm{E}+00
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[3]-\mathrm{x}[2]|=7.5093322664 \mathrm{E}-04 \geq 1.00 \mathrm{E}-05

Passo 4:

\mathrm{x}[4]=\mathrm{x}[3]-\mathrm{f}(1.3029639484 \mathrm{E}+00) / \mathrm{g}(1.3029639484 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[4]=1.3029639484 \mathrm{E}+00-(9.1452138307 \mathrm{E}-08) /(-1.7318277477 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[4]=1.3029640012 \mathrm{E}+00
Verificação do Critério de parada: |x[4]-x[3]|=5.2806717221 E-08<1.00 E-05
O zero da função \mathrm{f}(\mathrm{x}) é, aproximadamente, \boldsymbol{x}=\mathbf{1 . 3 0 2 9 6 4 0 0 1 2 E}+\mathbf{0 0}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Estimar o zero (a raiz) da função f(x)=\cos(x)-\log(x) usando o método de Newton-Raphson, com chute inicial x[0]=2 e critério de parada |x[n]-x[n-1]|<10^{-5}.
Informações relevantes dadas:
  • Função: f(x)=\cos(x)-\log(x).
  • Derivada (necessária para Newton): g(x)=f'(x)=-\sin(x)-\dfrac{1}{x}.
  • Chute inicial: x[0]=2.
  • Critério de parada: |x[n]-x[n-1]|<10^{-5}.

Passo 2

Breve explicação do método (fórmula e significado):
  • O método de Newton-Raphson aproxima a raiz usando a reta tangente em x_n. A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui x_n é a estimativa atual, f(x_n) é o valor da função nessa estimativa e f'(x_n) é a derivada nesse ponto. O quociente \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} é o deslocamento sugerido pela reta tangente para aproximar a raiz.
Agora aplicamos a fórmula numericamente com x[0]=2.
Cálculo do primeiro passo:
  • Calcule f(2)=\cos(2)-\log(2)=-0,4161468365-0,6931471806=-1,1092940171.
  • Calcule g(2)=-\sin(2)-\dfrac{1}{2}=-0,9092974268-0,5=-1,4092974268.
  • Use a fórmula:
x[1]=2-\frac{-1,1092940171}{-1,4092974268}=2-0,7871255535=1,2128744465.

Passo 3

Verificação do critério após o primeiro passo:
  • Diferença: |x[1]-x[0]|=|1,2128744465-2|=0,7871255535.
  • Como 0,7871255535\geq 10^{-5}, não satisfaz o critério; continuamos.

Passo 4

Cálculo do segundo passo ( n=1\to2):
  • Calcule f(1,2128744465)=\cos(1,2128744465)-\log(1,2128744465)=0,15733545034.
  • Calcule g(1,2128744465)=-\sin(1,2128744465)-\dfrac{1}{1,2128744465}=-1,7611145185.
  • Iteração:
x[2]=1,2128744465-\frac{0,15733545034}{-1,7611145185}=1,2128744465+0,0893385687=1,3022130152.

Passo 5

Verificação do critério após o segundo passo:
  • Diferença: |x[2]-x[1]|=|1,3022130152-1,2128744465|=0,0893385687.
  • Como 0,0893385687\geq 10^{-5}, continuamos.

Passo 6

Cálculo do terceiro passo ( n=2\to3):
  • Calcule f(1,3022130152)=\cos(1,3022130152)-\log(1,3022130152)=0,0013006699070.
  • Calcule g(1,3022130152)=-\sin(1,3022130152)-\dfrac{1}{1,3022130152}=-1,7320713226.
  • Iteração:
x[3]=1,3022130152-\frac{0,0013006699070}{-1,7320713226}=1,3022130152+0,0007509332=1,3029639484.

Passo 7

Verificação do critério após o terceiro passo:
  • Diferença: |x[3]-x[2]|=|1,3029639484-1,3022130152|=0,0007509332.
  • Como 0,0007509332\geq 10^{-5}, continuamos.

Passo 8

Cálculo do quarto passo ( n=3\to4):
  • Calcule f(1,3029639484)=\cos(1,3029639484)-\log(1,3029639484)=9,1452138307\cdot 10^{-8} (valor muito pequeno).
  • Calcule g(1,3029639484)=-\sin(1,3029639484)-\dfrac{1}{1,3029639484}=-1,7318277477.
  • Iteração:
x[4]=1,3029639484-\frac{9,1452138307\cdot 10^{-8}}{-1,7318277477}=1,3029639484+5,2806717221\cdot 10^{-8}=1,3029640012.

Passo 9

Verificação final do critério e conclusão:
  • Diferença: |x[4]-x[3]|=5,2806717221\cdot 10^{-8}.
  • Como 5,2806717221\cdot 10^{-8}<10^{-5}, o critério de parada é satisfeito.
  • Concluímos que a raiz foi estimada com a precisão desejada; encorajo você: esse processo converge rápido quando a derivada não é nula perto da raiz — é normal ter que fazer 3–4 iterações como aqui.

Resposta

x\approx 1,3029640012

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