\mathrm{(PUC) A} soma das soluções de \operatorname{sen} 2 x=\cos x contidas no intervalo fechado [0,2 \pi] é:
a) \frac{3 \pi}{2}
b) 2 \pi
c) \frac{5 \pi}{2}
d) 3 \pi
e) \frac{7 \pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as soluções de \sin2x = \cos x no intervalo [0,2\pi] e, em seguida, calcular a soma dessas soluções. Vamos usar a identidade de ângulo duplo para \sin2x e resolver as equações trigonométricas resultantes.

Passo 2

Usando a identidade \sin2x = 2\sin x\cos x, reescrevemos a equação:
2\sin x\cos x = \cos x.

Passo 3

Colocando tudo em um lado, obtemos
2\sin x\cos x - \cos x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \cos x\,(2\sin x - 1) = 0.
Logo, há duas possibilidades:
  1. \cos x = 0,
  2. 2\sin x - 1 = 0, isto é \sin x = \tfrac12.

Passo 4

Resolver \cos x = 0 em [0,2\pi]. São soluções:
x = \tfrac{\pi}{2}, \quad x = \tfrac{3\pi}{2}.

Passo 5

Resolver \sin x = \tfrac12 em [0,2\pi]. São soluções:
x = \tfrac{\pi}{6}, \quad x = \tfrac{5\pi}{6}.

Passo 6

Reunindo todas as soluções no intervalo, temos
\Bigl\{\tfrac{\pi}{6},\;\tfrac{5\pi}{6},\;\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2}\Bigr\}.
Somando-as:
\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{5\pi}{6} + \tfrac{\pi}{2} + \tfrac{3\pi}{2} = \pi + 2\pi = 3\pi.

Resposta

d) 3\pi

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