Utilizando as rotinas computacionais dos itens, implementadas em sala, resolva o sistema linear a seguir. Compare os resultados de cada método.
c) Gauss-Seidel
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de dimensão
usando o método iterativo de Gauss–Seidel e comparar com os outros métodos (por exemplo, eliminação de Gauss ou Jacobi). O conteúdo é MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEARES. Para aplicar Gauss–Seidel precisamos da matriz dos coeficientes
e do vetor de termos independentes
.
Passo 2
Escrevemos o esquema de Gauss–Seidel. Seja
,
e
. A regra de atualização é, para
:
Ou seja, usamos as componentes já atualizadas na mesma iteração para colunas
e as antigas para
.
Passo 3
Antes de iterar, verificamos a condição (suficiente) de convergência: dominância diagonal. Para cada linha
deve valer
com pelo menos uma linha estritamente. Ao checar as linhas do sistema vemos, por exemplo, na linha 1 que
logo não há dominância diagonal. Assim, não temos garantia de convergência do método de Gauss–Seidel.
Passo 4
Implementando computacionalmente a iteração de Gauss–Seidel (por exemplo, em MATLAB, Python ou Octave) com um critério de tolerância em norma infinito
e máximo de iterações de 500, observa-se que a sequência
não converge: os valores oscilam ou crescem em módulo, não atendendo ao critério de parada dentro do limite de iterações.
Passo 5
Comparando com eliminação de Gauss (direto), que fornece uma solução única estável
, e com Jacobi (que também falha em convergir aqui), concluímos que Gauss–Seidel não é eficaz para este sistema sem pré-condicionamento ou reformulação. A eliminação direta produz uma solução consistente, enquanto a iteração de Gauss–Seidel diverge.
Resposta
O método de Gauss–Seidel não converge para esse sistema (devido à falta de dominância diagonal), diferentemente da eliminação de Gauss, que fornece a solução correta.