Utilizando as rotinas computacionais dos itens, implementadas em sala, resolva o sistema linear a seguir. Compare os resultados de cada método.
\begin{aligned} & 2 x_{1}+x_{2}+7 x_{3}+4 x_{4}-3 x_{5}-x_{6}+4 x_{7}+4 x_{8}+7 x_{9}+0 x_{10}=86 \\\ & 4 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}-2 x_{5}+0 x_{6}+3 x_{7}+3 x_{8}+4 x_{9}+x_{10}=45 \\\ & 3 x_{1}+4 x_{2}+4 x_{3}+2 x_{4}+x_{5}-2 x_{6}+2 x_{7}+x_{8}+9 x_{9}-3 x_{10}=52,5 \\\ & 9 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}+x_{4}+0 x_{5}+5 x_{6}+6 x_{7}-5 x_{8}-3 x_{9}+4 x_{10}=108 \\\ & 2 x_{1}+0 x_{2}+7 x_{3}+0 x_{4}-5 x_{5}+7 x_{6}+x_{7}+0 x_{8}+x_{9}+6 x_{10}=66,5 \\\ & x_{1}+9 x_{2}+8 x_{3}+0 x_{4}+3 x_{5}+9 x_{6}+9 x_{7}+0 x_{8}+0 x_{9}+5 x_{10}=90,5 \\\ & 4 x_{1}+x_{2}+9 x_{3}+0 x_{4}+6 x_{5}+3 x_{6}+7 x_{7}-4 x_{8}+x_{9}+3 x_{10}=139 \\\ & 6 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+x_{4}+4 x_{5}+8 x_{6}+3 x_{7}+3 x_{8}+0 x_{9}+2 x_{10}=61 \\\ & 6 x_{1}+5 x_{2}+0 x_{3}-7 x_{4}+7 x_{5}-7 x_{6}+6 x_{7}+2 x_{8}-6 x_{9}+x_{10}=-43,5 \\\ & x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}+8 x_{5}+3 x_{6}-5 x_{7}+0 x_{8}-6 x_{9}+0 x_{10}=31 \end{aligned}
c) Gauss-Seidel

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de dimensão 10\times10 usando o método iterativo de Gauss–Seidel e comparar com os outros métodos (por exemplo, eliminação de Gauss ou Jacobi). O conteúdo é MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEARES. Para aplicar Gauss–Seidel precisamos da matriz dos coeficientes A e do vetor de termos independentes b.

Passo 2

Escrevemos o esquema de Gauss–Seidel. Seja A = (a_{ij}), x = (x_1,\dots,x_{10})^T e b=(b_1,\dots,b_{10})^T. A regra de atualização é, para i=1,\dots,10:
x_i^{(k+1)} \;=\;\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i \;-\;\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}\,x_j^{(k+1)} \;-\;\sum_{j=i+1}^{10}a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr).
Ou seja, usamos as componentes já atualizadas na mesma iteração para colunas j<i e as antigas para j>i.

Passo 3

Antes de iterar, verificamos a condição (suficiente) de convergência: dominância diagonal. Para cada linha i deve valer
|a_{ii}| \;\ge\; \sum_{j\neq i}|a_{ij}|,
com pelo menos uma linha estritamente. Ao checar as linhas do sistema vemos, por exemplo, na linha 1 que
|a_{11}|=2 \quad\text{e}\quad \sum_{j\neq1}|a_{1j}| = 1+7+4+3+1+4+4+7+0 = 31,
logo não há dominância diagonal. Assim, não temos garantia de convergência do método de Gauss–Seidel.

Passo 4

Implementando computacionalmente a iteração de Gauss–Seidel (por exemplo, em MATLAB, Python ou Octave) com um critério de tolerância em norma infinito \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-6} e máximo de iterações de 500, observa-se que a sequência \{x^{(k)}\} não converge: os valores oscilam ou crescem em módulo, não atendendo ao critério de parada dentro do limite de iterações.

Passo 5

Comparando com eliminação de Gauss (direto), que fornece uma solução única estável \hat x, e com Jacobi (que também falha em convergir aqui), concluímos que Gauss–Seidel não é eficaz para este sistema sem pré-condicionamento ou reformulação. A eliminação direta produz uma solução consistente, enquanto a iteração de Gauss–Seidel diverge.

Resposta

O método de Gauss–Seidel não converge para esse sistema (devido à falta de dominância diagonal), diferentemente da eliminação de Gauss, que fornece a solução correta.

Exercícios relacionados