Questão 6: Considere os seguintes dados que relacionam a temperatura da água ( T ) com seu calor específico ( c ). Sabe-se que o calor específico é uma função da temperatura da barra, isto é, c=c(T).
T\left(\mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C}\right) 20 25 30 35 40 45 50
c 0.99907 0.99852 0.99826 0.99818 0.99828 0.99849 0.99878
a) Usando interpolação linear, estime o calor específico c para T=32,5^{\circ}.
b) Um aluno quer estimar o calor específico da barra quando T=41^{\circ}. Para isso ele decide construir um polinômio interpolador de grau 2 a partir dos pontos associados a T=30^{\circ}, T=35^{\circ} e T=40^{\circ}. Foi uma boa escolha de pontos para a interpolação? Quais três pontos você iria sugerir para o aluno utilizar na interpolação?
c) Usando sua sugestão do item (b), encontre o polinômio interpolador de grau 2 e um valor aproximado para o calor específico associado à temperatura T=41^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela relacionando a temperatura T em ^\circ\mathrm{C} e o calor específico c, e pede três tarefas:
  1. Usar interpolação linear para estimar c em T=32,5^\circ\mathrm{C}.
  2. Avaliar se é boa ideia usar os pontos em T=30,35,40 para interpolar com polinômio de grau 2 em T=41, e sugerir três pontos melhores.
  3. Com os pontos sugeridos, construir o polinômio de grau 2 e estimar c em T=41^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Para T=32,5 usamos interpolação linear entre (30,0,99826) e (35,0,99818). Aplicando
c(32,5) =0,99826+\frac{0,99818-0,99826}{35-30}\,(32,5-30)
Calculamos
\frac{0,99818-0,99826}{5}=-0,000016 \quad\text{e}\quad 32,5-30=2,5,
portanto
c(32,5) =0,99826+(-0,000016)\times2,5 =0,99826-0,00004 =0,99822.

Passo 3

Interpolar em T=41 usando apenas os pontos em 30,35,40 significa extrapolar para fora do intervalo [30,40], o que tende a diminuir a precisão. É melhor escolher três pontos que envolvam 41, ou seja, mais próximos a ele. Sugiro usar (35,0,99818), (40,0,99828) e (45,0,99849).

Passo 4

Com x_0=35, f_0=0,99818; x_1=40, f_1=0,99828; x_2=45, f_2=0,99849, formamos as diferenças divididas:
f[x_0,x_1] =\frac{0,99828-0,99818}{40-35}=0,00002, \quad f[x_1,x_2] =\frac{0,99849-0,99828}{45-40}=0,000042,
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{0,000042-0,00002}{45-35}=0,0000022.
O polinômio de Newton fica
p(T) =0,99818 +0,00002\,(T-35) +0,0000022\,(T-35)\,(T-40).
Expansão em forma padrão:
p(T)=0,0000022\,T^2-0,000145\,T+1,00056.

Passo 5

Para T=41 avaliamos p(41):
p(41) =0,99818+0,00002\,(41-35)+0,0000022\,(41-35)\,(41-40)
=0,99818+0,00002\cdot6+0,0000022\cdot6\cdot1 =0,99818+0,00012+0,0000132 =0,9983132\approx0,99831.

Resposta

(a) c(32,5)\approx0,99822.
(b) Não é bom usar T=30,35,40 pois 41 está fora de [30,40]. Sugestão: usar (35,0,99818), (40,0,99828), (45,0,99849).
(c)
p(T)=0,99818+0,00002\,(T-35)+0,0000022\,(T-35)(T-40)
\text{e}\quad c(41)\approx0,99831.

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