Para que a matriz
A=(ccc 2 & 1,4 & -1 1,4 & 2 & 1 -1 & 1 & a )
seja definida positiva, a tem que pertencer a qual intervalo?
(A) (3,3333, infty)
(B) (4,000, infty)
© (2,8571, infty)
(D) (2,5000, infty)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a matriz
A= 2 & 1,4 & -1 1,4 & 2 & 1 -1 & 1 & a
e quer saber para quais valores de ela é definida positiva. O conteúdo aqui é “matriz definida positiva” e o que a gente vai usar é o Critério de Sylvester, que manda a gente checar se todos os menores principais (os determinantes dos blocos superiores à esquerda) são positivos.

Passo 2

Primeiro menor principal: é só o elemento 2>0, . Então pedimos
e isso já está OK (sempre vale).

Passo 3

Segundo menor principal: é o determinante do bloco det2 & 1,41,4 & 2 =2cdot2 - (1,4)^2 =4 - 1,96 =2,04>0 superior, ou seja
Também fica positivo para qualquer , então tranquilo até aqui.

Passo 4

Terceiro menor principal = determinante da matriz toda. Vamos calcular
det(A) = 2 & 1,4 & -1 1,4 & 2 & 1 -1 & 1 & a
Usando expansão na primeira linha:
det(A) &=2cdotdet2&11&a -1,4cdotdet1,4&1-1&a +(-1)cdotdet1,4&2-1&1[6pt] &=2l(2a-1cdot1r) -1,4l(1,4a-(-1)cdot1r) -1l(1,4cdot1-(-1)cdot2r)[4pt] &=2(2a-1)-1,4(1,4a+1)-(1,4+2)[4pt] &=4a-2-1,96a-1,4-3,4[4pt] &=(4-1,96)a - (2+1,4+3,4)[4pt] &=2,04a -6,8
Para ser definida positiva, queremos 2,04,a -6,8>0 Longrightarrow a>6,82,04approx3,3333 , ou seja

Resposta

Portanto, a matriz é definida positiva se
ain(3,3333,infty),
que corresponde à alternativa (A).

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