Questão 02 ( 3 pontos): Considere a seguinte Problema de Valor Inicial
l y^prime=y x^2-y y(0)=1
para o qual buscamos uma sofuçāo numérica aproximada no intervalo x in[a, b]=[0,1] usando 4 subintervalos.
c) Sabendo que a soluçăo exata do problema é y=exp (-x+x^33), preencha a tabela a seguir e responda: o que ocorre com o erro conforme nos afastamos da condição inicial? Justifique sua resposta.
|l|c|c|c|c|c| hline$xk$ & c $yk$ (Eu<=r)
c $yk$ (Taylor 2ardem)
(Euler)
c $y(xk)$ Valor Exato
(Taylor 2ardem)
c Erro (Eu<=r)
Valor Exato
Erro
(Euler)
Erro
(Taylor 2a

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos o PVI
y' = y,x^2 - y, y(0)=1,
queremos aproximar a solução em y(x)=exp!l(-x+tfracx^33r) usando 4 subintervalos (logo ) pelos métodos de Euler e Taylor de 2ª ordem. Depois comparamos com a solução exata
e analisamos como o erro se comporta. Conteúdo: métodos numéricos para EDO (Euler explícito e Taylor 2ª ordem), truncamento local e erro global.

Passo 2

Método de Euler explícito:
yk+1=yk + h,f(xk,yk), f(x,y)=y(x^2-1)
Com e , e , iteramos:
  • :
    .
  • :
    .
  • :
    .
  • :
    .

Passo 3

Método de Taylor de 2ª ordem:
yk+1=yk + h,fk + h^22,ddxf(xk,yk),
onde
ddxf(x,y) =underbracepartial fpartial x2xy+ underbracepartial fpartial y(x^2-1)cdot y' =2xy + (x^2-1)^2,y
Logo a iteração é
yk+1 = yk + h,yk(xk^2-1) +tfrach^22,ykl[2xk+(xk^2-1)^2r]
Fazendo os cálculos:
  • : .
  • : .
  • : .
  • : .

Passo 4

Solução exata e erros:
yrm exata(xk)=exp!l(-xk+tfracxk^33r),
Errorm Eu<=r=|yk^(rm Eu<=r)-yrm exata|, Errorm Taylor=|yk^(rm Taylor)-yrm exata|

Passo 5

Tabela completa:
x_k y_k (Euler) y_k (Taylor 2ª) y_exata Erro (Euler) Erro (Taylor)
0.00 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000
0.25 0.750000 0.781250 ≈0.782853 0.032853 0.001603
0.50 0.574219 0.631775 ≈0.631871 0.057652 0.000096
0.75 0.466553 0.544165 ≈0.543655 0.077102 0.000510
1.00 0.415548 0.513253 ≈0.513417 0.097869 0.000164
Observação: conforme cresce, o erro global do método de Euler aumenta visivelmente; no Taylor de 2ª ordem ele também cresce, mas permanece muito pequeno.

Resposta

O erro aumenta conforme nos afastamos da condição inicial porque o erro local de cada passo se acumula (erro global cresce) à medida que avançamos em .

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