Questão 3 (2.5 pontos):
a) apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
sendo
(Observação: Note que não é necessário fazer os cálculos em cada ponto, apenas apresentar a fórmula de iteração).
a) apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente apresentar a fórmula de iteração usando o método de Taylor de ordem 2 para resolver o seguinte problema inicial de valor:
Aqui, o método de Taylor de ordem 2 faz parte da matéria de métodos numéricos para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas até a segunda ordem e aplicar a fórmula de iteração do Taylor de segunda ordem com um passo $ h = 0.1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar o uso do método de Taylor. A equação dada é:
Podemos isolar $ y’ $:
Essa é a forma que vamos usar para calcular as derivadas necessárias.
Passo 3
No método de Taylor de ordem 2, a fórmula de iteração geral é:
Então, precisamos encontrar $ y’_n $ e $ y’’_n $ em termos de $ x_n $ e $ y_n $.
Passo 4
Já temos $ y’_n = x_n - y_n $ da equação rearranjada anteriormente.
Agora, vamos calcular a segunda derivada $ y’’_n $. Para isso, diferenciamos ambos os lados de $ y’ = x - y $ em relação a $ x $:
Substituindo $ y’ = x - y $ na expressão acima:
Passo 5
Agora que temos $ y’_n $ e $ y’’_n $, podemos substituir na fórmula de iteração do Taylor de segunda ordem:
Essa é a fórmula de iteração que precisamos apresentar.
Resposta
A fórmula de iteração pelo método de Taylor de ordem 2 para o problema dado é: