Questão 3 (2.5 pontos):
a) apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
l y^prime+y=x y(0)=0
sendo h=0.1 (Observação: Note que não é necessário fazer os cálculos em cada ponto, apenas apresentar a fórmula de iteração).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente apresentar a fórmula de iteração usando o método de Taylor de ordem 2 para resolver o seguinte problema inicial de valor:
l y^prime + y = x y(0) = 0
Aqui, o método de Taylor de ordem 2 faz parte da matéria de métodos numéricos para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas até a segunda ordem e aplicar a fórmula de iteração do Taylor de segunda ordem com um passo $ h = 0.1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar o uso do método de Taylor. A equação dada é:
y' + y = x
Podemos isolar $ y’ $:
y'
Essa é a forma que vamos usar para calcular as derivadas necessárias.

Passo 3

No método de Taylor de ordem 2, a fórmula de iteração geral é:
yn+1 = yn + h y'n + h^22 y''n
Então, precisamos encontrar $ y’_n $ e $ y’’_n $ em termos de $ x_n $ e $ y_n $.

Passo 4

Já temos $ y’_n = x_n - y_n $ da equação rearranjada anteriormente.
Agora, vamos calcular a segunda derivada $ y’’_n $. Para isso, diferenciamos ambos os lados de $ y’ = x - y $ em relação a $ x $:
y'n = xn - yn
Substituindo $ y’ = x - y $ na expressão acima:
y''n

Passo 5

Agora que temos $ y’_n $ e $ y’’_n $, podemos substituir na fórmula de iteração do Taylor de segunda ordem:
y'n
Essa é a fórmula de iteração que precisamos apresentar.

Resposta

A fórmula de iteração pelo método de Taylor de ordem 2 para o problema dado é:
yn+1 = yn + h (xn - yn) + h^22 (1 - xn + yn)

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