A matriz U da decomposição A=L U pode der reescrita como U=D barU onde D é uma matriz diagonal com elementos di=ui i e a matriz barU possui elementos com valor 1 na diagonal.
(a) Mostre que barui j=ui j / ui i.
(b) Escreva a decomposição A=L D barU das matrizes da questão 11 .
© Quando a decomposição A=L D barU pode ser escrita como A=L D L^t ?

Passo 1

Beleza, a questão está falando da fatoração LU de uma matriz U = D,bar U,, mas com um detalhe extra: a gente escreve
onde
  • é diagonal com ,
  • tem todos os 1 na diagonal.
    Então o enunciado pede:
    (a) provar que ,
    (b) para as matrizes da questão 11, reescrever ,
    © dizer quando dá pra escrever isso como .
    O que vamos usar é a definição de multiplicação de matrizes, a fatoração LU (também chamada Doolittle) e propriedades de simetria.

Passo 2

Parte (a): mostrar que uij ;=;sumk=1^n dik,bar ukj .
Se uij = dii,bar uij = uii,bar uij , então em termos de elementos,
bar uij = uijuii
Mas é diagonal, então para e . Logo
Basta isolar :

Passo 3

Parte (b): reescrever A=2&14&3, L=1&02&1, U=2&10&1, para a matriz da questão 11.
Supondo que na questão 11 estava
D = diag(u11,u22) = diag(2,1) = 2&00&1, bar U = 1 & tfrac12[6pt] 0 & 1
então
porque A = L,U = L,(D,bar U) = 1&02&1 2&00&1 1&1/20&1 .
Logo

Passo 4

Parte ©: quando dá para escrever como ?
Isso exige que . Em outras palavras, a fatoração LU deve ser simétrica, com os mesmos valores de multiplicadores em e em .
Na prática isso só rola se
  1. for simétrica ( ),
  2. e a fatoração não precisar de pivoteamento (tipicamente também é definida positiva).
    Nesse caso chamamos de fatoração de Cholesky generalizada: .

Resposta

(a) 2&14&3.
(b) Se 1&02&1, 2&10&1, D=2&00&1, bar U=1&tfrac120&1, A=L,D,bar U , então
© Só quando for simétrica (e geralmente definida positiva), aí e .

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