A matriz
da decomposição
pode der reescrita como
onde
é uma matriz diagonal com elementos
e a matriz
possui elementos com valor 1 na diagonal.
(a) Mostre que
.
(b) Escreva a decomposição
das matrizes da questão 11 .
© Quando a decomposição
pode ser escrita como
?
(a) Mostre que
(b) Escreva a decomposição
© Quando a decomposição
Passo 1
Beleza, a questão está falando da fatoração LU de uma matriz
, mas com um detalhe extra: a gente escreve
onde
-
é diagonal com , -
tem todos os 1 na diagonal.
Então o enunciado pede:
(a) provar que,
(b) para as matrizes da questão 11, reescrever,
© dizer quando dá pra escrever isso como.
O que vamos usar é a definição de multiplicação de matrizes, a fatoração LU (também chamada Doolittle) e propriedades de simetria.
Passo 2
Parte (a): mostrar que
.
Se , então em termos de elementos,
Se
Mas
é diagonal, então
para
e
. Logo
Basta isolar
:
Passo 3
Parte (b): reescrever
para a matriz da questão 11.
Supondo que na questão 11 estava
Supondo que na questão 11 estava
então
porque
.
Logo
Logo
Passo 4
Parte ©: quando dá para escrever
como
?
Isso exige que . Em outras palavras, a fatoração LU deve ser simétrica, com os mesmos valores de multiplicadores em
e em
.
Na prática isso só rola se
Isso exige que
Na prática isso só rola se
-
for simétrica ( ), - e a fatoração não precisar de pivoteamento (tipicamente
também é definida positiva).
Nesse caso chamamos de fatoração de Cholesky generalizada:.
Resposta
(a)
.
(b) Se ,
,
, então
(b) Se
© Só quando
for simétrica (e geralmente definida positiva), aí
e
.