Resolva os seguintes sistemas utilizando eliminação gaussiana sem e com pivoteamento, utilizando:
a) Quatro dígitos na representação em ponto flutuante.
Resposta: Sem pivoteamento
e
Com pivoteamento
e
.
b) Três dígitos na representação em ponto flutuante:
Resposta: Sem pivoteamento
e
; Com pivoteamento
e
.
c) Dois dígitos na representação em ponto flutuante:
Resposta: Sem pivoteamento
e
; Com pivoteamento
e
.
d) (Desafio!) Seis dígitos na representação em ponto flutuante:
Resposta: Sem pivoteamento
e
; Com pivoteamento
e
.
a) Quatro dígitos na representação em ponto flutuante.
b) Três dígitos na representação em ponto flutuante:
c) Dois dígitos na representação em ponto flutuante:
Resposta: Sem pivoteamento
d) (Desafio!) Seis dígitos na representação em ponto flutuante:
Resposta: Sem pivoteamento
Passo 1
O exercício é sobre resolver sistemas lineares pelo método da eliminação de Gauss, com e sem pivoteamento, usando aritmética de ponto-flutuante com arredondamento a um número fixo de dígitos.
Para cada caso vamos precisar de:
Para cada caso vamos precisar de:
- Conhecer a fórmula do multiplicador
para zerar o elemento abaixo do pivô.
- Saber arredondar corretamente em cada operação, mantendo só o número de dígitos pedido.
- Fazer a substituição regressiva depois de triangular a matriz.
Passo 2
Parte (a) sem pivoteamento – quatro dígitos:
- Sistema:
- Pivô é
. Calculo do multiplicador: - Atualização da linha 2:
–, arredonda a quatro dígitos.
–, também com quatro dígitos. - Agora o sistema triangular fica
- Substituição regressiva:
sempre arredondando a quatro dígitos.
Passo 3
Parte (a) com pivoteamento – quatro dígitos:
- Comparamos
e ; trocamos linha 1 com linha 2 para ter pivô maior em cima. - Repetimos a eliminação de Gauss na nova ordem, calculando
e atualizando linha 2.
3) Obtemos triangular e fazemos substituição regressiva, sempre arredondando a quatro dígitos.
Passo 4
Parte (b) sem pivoteamento – três dígitos:
- Sistema:
- Pivô
. Calcula-se
3) Zera-se, atualiza-se e com três dígitos, triangula-se e aplica-se regressiva.
Passo 5
Parte (b) com pivoteamento – três dígitos:
- Compara-se
e ; troca-se de linha para usar 2 como pivô. - Refaz-se o procedimento: cálculo de
, atualização de linha 2, arredondamento a três dígitos, e regressiva.
Resposta
(a) Sem pivoteamento (4 dígitos):
(a) Com pivoteamento (4 dígitos):
(b) Sem pivoteamento (3 dígitos):
(b) Com pivoteamento (3 dígitos):