Resolva os seguintes sistemas utilizando eliminação gaussiana sem e com pivoteamento, utilizando:
a) Quatro dígitos na representação em ponto flutuante.
rlr 0,004 x1+15,73 x2 & =15,77 0,423 x1-24,72 x2 & =-20,49
Resposta: Sem pivoteamento x1=12,50 e x2=0.9994 ; Com pivoteamento x1=10,0 e x2=1,0.
b) Três dígitos na representação em ponto flutuante:
r 0,0002 x1+2 x2=5 2 x1+2 x2=6
Resposta: Sem pivoteamento x1=0,0 e x2=2.5; Com pivoteamento x1=0,5 e x2=2,5.
c) Dois dígitos na representação em ponto flutuante:
Resposta: Sem pivoteamento x1=0,0, x2=0,0 e x3=1,1; Com pivoteamento x1=1,0, x2=1,0 e x3=1,0.
d) (Desafio!) Seis dígitos na representação em ponto flutuante:
Resposta: Sem pivoteamento x1=-0,5, x2=0,997451 e x3=0,5; Com pivoteamento x1=1,0, x2=1,0 e x3=1,0.

Passo 1

O exercício é sobre resolver sistemas lineares pelo método da eliminação de Gauss, com e sem pivoteamento, usando aritmética de ponto-flutuante com arredondamento a um número fixo de dígitos.
Para cada caso vamos precisar de:
  • Conhecer a fórmula do multiplicador m21=a21a11,,
    para zerar o elemento abaixo do pivô.
    - Saber arredondar corretamente em cada operação, mantendo só o número de dígitos pedido.
    - Fazer a substituição regressiva depois de triangular a matriz.

Passo 2

Parte (a) sem pivoteamento – quatro dígitos:
  1. Sistema: 0,004,x1+15,73,x2=15,77 0,423,x1-24,72,x2=-20,49
  2. Pivô é m21=0,4230,004=105,75approx1,058times10^2(4 dígitos). Calculo do multiplicador: 0,004,x1+15,73,x2=15,77 0;x1 + a'22,x2 = b'2 í
  3. Atualização da linha 2:
    x2=b'2a'22longrightarrow x1=15,77-15,73,x20,004,, arredonda a quatro dígitos.
    , também com quatro dígitos.
  4. Agora o sistema triangular fica
  5. Substituição regressiva:
    sempre arredondando a quatro dígitos.

Passo 3

Parte (a) com pivoteamento – quatro dígitos:
  1. Comparamos m21=0,0040,423approx9,449times10^-3 e ; trocamos linha 1 com linha 2 para ter pivô maior em cima.
  2. Repetimos a eliminação de Gauss na nova ordem, calculando
    e atualizando linha 2.
    3) Obtemos triangular e fazemos substituição regressiva, sempre arredondando a quatro dígitos.

Passo 4

Parte (b) sem pivoteamento – três dígitos:
  1. Sistema: 0,0002,x1+2,x2=5 2,x1+2,x2=6
  2. Pivô m21=20,0002=10,000approx1,00times10^4(3 dígitos). Calcula-se í
    3) Zera-se , atualiza-se e com três dígitos, triangula-se e aplica-se regressiva.

Passo 5

Parte (b) com pivoteamento – três dígitos:
  1. Compara-se e ; troca-se de linha para usar 2 como pivô.
  2. Refaz-se o procedimento: cálculo de , atualização de linha 2, arredondamento a três dígitos, e regressiva.

Resposta

(a) Sem pivoteamento (4 dígitos):
x1=12,50, x2=0,9994
(a) Com pivoteamento (4 dígitos):
x1=10,0, x2=1,0
(b) Sem pivoteamento (3 dígitos):
x1=0,0, x2=2,5
(b) Com pivoteamento (3 dígitos):
x1=0,5, x2=2,5

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