Resolva o sistema a seguir pelo método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com tolerância inferior a 10^-3.
c 5 x1+x2+x3=50 -x1+3 x2-x3=10 x1+2 x2+10 x3=-30

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema
5x1 + x2 + x3 = 50, -,x1 + 3x2 - x3 = 10, x1 + 2x2 + 10x3 = -30
usando métodos iterativos (Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel).
Conteúdo: métodos de iteração para sistemas lineares.
O que precisamos:
  • Reescrever cada equação isolando .
  • Critério de parada .
  • Chutar .

Passo 2

Teoria e fórmulas de Gauss–Jacobi
Na Jacobi, cada componente em x1 &= 50 - x2 - x35, x2 &= 10 + x1 + x33, x3 &= -30 - x1 - 2,x210 usa só valores de x1^(k+1) = tfrac15l(50 - x2^(k) - x3^(k)r), x2^(k+1) = tfrac13l(10 + x1^(k) + x3^(k)r), x3^(k+1) = tfrac110l(-30 - x1^(k) - 2,x2^(k)r) .
Isolando:
As fórmulas iterativas ficam

Passo 3

Iterações de Gauss–Jacobi
Chute inicial x^(1)= l(10,;3.3333,;-3.0000r) . Vamos calcular até x^(2)=l(9.93334,;5.66667,;-4.66666r) .
k=0→1:
x^(3)=l(9.80000,;5.08889,;-5.12667r)
k=1→2:
x^(4)=l(10.00756,;4.89111,;-4.99778r)
k=2→3:
x^(5)=l(10.02133,;5.00326,;-4.97898r)
k=3→4:
x^(6)=l(9.99514,;5.01412,;-5.00279r)
k=4→5:
x^(7)=l(9.99773,;4.99745,;-5.00234r)
k=5→6:
x^(8)=l(10.00098,;4.99847,;-4.99926r)
k=6→7:
x^(9)=l(10.00016,;5.00057,;-4.99979r)
k=7→8:
x^(10)=l(9.99984,;5.00012,;-5.00013r),
k=8→9:
k=9→10:
e aqui
.

Passo 4

Teoria e fórmulas de Gauss–Seidel
No Seidel, assim que calculo x1^(k+1) = 50 - x2^(k) - x3^(k)5, x2^(k+1) = 10 + x1^(k+1) + x3^(k)3, x3^(k+1) = -30 - x1^(k+1) - 2,x2^(k+1)10 já uso no cálculo de , e assim por diante.
Mesmas equações isoladas, mas:

Passo 5

Iterações de Gauss–Seidel
Chute x^(1)=(10.0000,;6.66667,;-5.33333) .
k=0→1:
x^(2)=(9.73333,;4.80000,;-4.93333)
k=1→2:
x^(3)=(10.02667,;5.03111,;-5.00889)
k=2→3:
x^(4)=(9.99556,;4.99556,;-5.00578)
k=3→4:
x^(5)=(10.00204,;4.99659,;-4.99867)
k=4→5:
x^(6)=(10.00041,;5.00058,;-4.99936)
k=5→6:
x^(7)=(9.99976,;5.00013,;-5.00009),
k=6→7:
e aqui
.

Resposta

Resultados aproximados (tol. ):
• Gauss–Jacobi:
.
• Gauss–Seidel:
.

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