Para as matrizes A abaixo, decomponha cada matriz na forma L U, onde L é uma matriz unitriangular inferior e U é uma matriz triangular superior. Caso seja preciso permutar linhas multiplicando A por uma matriz de permutação P, de maneira que P A=L U, exiba a matriz P.
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\\\ 3 & 3 & 9 \\\\ 3 & 3 & 5 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\\\ 3 & 3 & 9 \\\\ 3 & 3 & 5 \end{pmatrix}
e pede para decompor A na forma L U, onde L é uma matriz unitriangular inferior (ou seja, triangular inferior com 1 na diagonal) e U é triangular superior.
Se for preciso trocar linhas (pivotamento), devemos exibir uma matriz de permutação P tal que P A = L U.
Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Breve explicação do método que vamos aplicar (eliminação de Gauss para obter U e guardar os multiplicadores em L):
  • A ideia é aplicar operações do tipo “linha i \leftarrow linha i - l_{i1} × linha 1” para zerar entradas abaixo do pivô a_{11}. O número l_{i1} é o multiplicador usado e vira a entrada (i,1) de L.
  • Em geral, ao eliminar com pivô u_{kk} (elemento da diagonal já obtido em U), o multiplicador é
l_{ik}=\frac{\text{(entrada atual na linha }i\text{, coluna }k)}{u_{kk}}.
  • L terá 1s na diagonal e os l_{ik} abaixo da diagonal; U é o resultado final da eliminação (triangular superior).
    Agora aplico o procedimento passo a passo à matriz A.

Passo 3

Primeiro pivot: \;u_{11}=2 (primeiro elemento de A). Calcula-se os multiplicadores para zerar as entradas abaixo de u_{11}:
l_{21}=\frac{3}{2},\qquad l_{31}=\frac{3}{2}.
Aplicando as operações:
  • Linha 2 \leftarrow Linha 2 -\dfrac{3}{2} × Linha 1:
\begin{aligned} \text{nova }a_{21}&=3-\frac{3}{2}\cdot 2=3-3=0,\\[4pt] \text{nova }a_{22}&=3-\frac{3}{2}\cdot(-1)=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2},\\[4pt] \text{nova }a_{23}&=9-\frac{3}{2}\cdot 1=9-\frac{3}{2}=\frac{15}{2}. \end{aligned}
  • Linha 3 \leftarrow Linha 3 -\dfrac{3}{2} × Linha 1:
\begin{aligned} \text{nova }a_{31}&=3-\frac{3}{2}\cdot 2=0,\\[4pt] \text{nova }a_{32}&=3-\frac{3}{2}\cdot(-1)=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2},\\[4pt] \text{nova }a_{33}&=5-\frac{3}{2}\cdot 1=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}. \end{aligned}
Após estas operações, a matriz intermediária (os dois primeiros passos da eliminação) é
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & \dfrac{9}{2} & \dfrac{15}{2}\\[6pt] 0 & \dfrac{9}{2} & \dfrac{7}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Segundo pivot: \;u_{22}=\dfrac{9}{2}. Calcula-se o multiplicador para zerar a entrada abaixo dele:
l_{32}=\frac{\dfrac{9}{2}}{\dfrac{9}{2}}=1.
Aplicando a operação:
  • Linha 3 \leftarrow Linha 3 -1 × Linha 2:
\text{nova }a_{33}=\frac{7}{2}-\frac{15}{2}=-\frac{8}{2}=-4.
Assim obtemos a matriz triangular superior U:
U=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & \dfrac{9}{2} & \dfrac{15}{2}\\[6pt] 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora montamos L: diagonal com 1s e os multiplicadores armazenados nas posições abaixo da diagonal:
  • l_{21}=\dfrac{3}{2},\; l_{31}=\dfrac{3}{2},\; l_{32}=1.
    Portanto
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \dfrac{3}{2} & 1 & 0\\[6pt] \dfrac{3}{2} & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Não foi necessário permutar linhas em nenhum momento (os pivôs usados eram não nulos), logo podemos escrever A=L U diretamente (ou seja, P=I_3). Para confirmar, faço uma verificação rápida do produto L U:
  • Primeira linha de L U é a primeira linha de U: \,(2,\,-1,\,1).
  • Segunda linha de L U:
\frac{3}{2}\cdot(2,-1,1)+ (0,\tfrac{9}{2},\tfrac{15}{2})=(3, -\tfrac{3}{2}+\tfrac{9}{2}, \tfrac{3}{2}+\tfrac{15}{2})=(3,3,9).
  • Terceira linha de L U:
\frac{3}{2}\cdot(2,-1,1)+ (0,\tfrac{9}{2},\tfrac{15}{2}) + (0,0,-4)=(3, -\tfrac{3}{2}+\tfrac{9}{2}, \tfrac{3}{2}+\tfrac{15}{2}-4)=(3,3,5).
Esses resultados coincidem com as linhas de A, logo a decomposição está correta.]

Resposta

P=I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \dfrac{3}{2} & 1 & 0\\[6pt] \dfrac{3}{2} & 1 & 1 \end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & \dfrac{9}{2} & \dfrac{15}{2}\\[6pt] 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}]

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