Para as matrizes A abaixo, decomponha cada matriz na forma L U, onde L é uma matriz unitriangular inferior e U é uma matriz triangular superior. Caso seja preciso permutar linhas multiplicando A por uma matriz de permutação P, de maneira que P A=L U, exiba a matriz P.
e pede para decompor A na forma L U, onde L é uma matriz unitriangular inferior (ou seja, triangular inferior com 1 na diagonal) e U é triangular superior.
Se for preciso trocar linhas (pivotamento), devemos exibir uma matriz de permutação P tal que P A = L U.
Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Breve explicação do método que vamos aplicar (eliminação de Gauss para obter U e guardar os multiplicadores em L):
A ideia é aplicar operações do tipo “linha i\leftarrow linha i - l_{i1} × linha 1” para zerar entradas abaixo do pivô a_{11}. O número l_{i1} é o multiplicador usado e vira a entrada (i,1) de L.
Em geral, ao eliminar com pivô u_{kk} (elemento da diagonal já obtido em U), o multiplicador é
l_{ik}=\frac{\text{(entrada atual na linha }i\text{, coluna }k)}{u_{kk}}.
L terá 1s na diagonal e os l_{ik} abaixo da diagonal; U é o resultado final da eliminação (triangular superior).
Agora aplico o procedimento passo a passo à matriz A.
Passo 3
Primeiro pivot: \;u_{11}=2 (primeiro elemento de A). Calcula-se os multiplicadores para zerar as entradas abaixo de u_{11}:
l_{21}=\frac{3}{2},\qquad l_{31}=\frac{3}{2}.
Aplicando as operações:
Linha 2 \leftarrow Linha 2 -\dfrac{3}{2} × Linha 1:
Não foi necessário permutar linhas em nenhum momento (os pivôs usados eram não nulos), logo podemos escrever A=L U diretamente (ou seja, P=I_3). Para confirmar, faço uma verificação rápida do produto L U:
Primeira linha de L U é a primeira linha de U: \,(2,\,-1,\,1).