Considere as matrizes
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right) .
Para cada uma das matrizes acima, faça o que se pede:
(a) Calcule o determinante.
(b) Verifique se a matriz é inversível.
(c) Caso seja inversível, calcule a matriz inversa.
(d) Calcule a norma induzida pela norma do máximo, isto é,
\|A\|_{\infty}=\max _{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|

Passo 1

O enunciado dá três matrizes A, B e C:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right).
Para cada matriz é pedido:
(a) calcular o determinante;
(b) verificar se a matriz é inversível;
(c) caso seja inversível, calcular a inversa;
(d) calcular a norma induzida pela norma do máximo:
\|M\|_{\infty}=\max_{1\le i\le n}\sum_{j=1}^{n}|m_{ij}|.

Passo 2

Vamos primeiro lembrar uma ferramenta prática para determinantes de 3\times3: a regra de Sarrus. Para
M=\left(\begin{array}{ccc} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{array}\right)
temos
\det(M)=a e i + b f g + c d h - (c e g + b d i + a f h).
Isso é só uma forma rápida de calcular sem desenvolver por cofatores. Também é importante lembrar: uma matriz é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 3

Determinante de A pelo Sarrus. Para
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right)
aplicando a fórmula:
\begin{aligned} \det(A)&=1\cdot1\cdot1 + 1\cdot1\cdot2 + 0\cdot3\cdot1 \\\ &\quad -\big(0\cdot1\cdot2 + 1\cdot3\cdot1 + 1\cdot1\cdot1\big)\\[4pt] &=1 + 2 + 0 - (0 + 3 + 1)\\\ &=3-4=-1. \end{aligned}
Como \det(A)=-1\neq 0, A é inversível.]

Passo 4

Método para calcular A^{-1}: vou usar a fórmula com cofatores/adjunta porque dá conta com contas manuais claras. Para uma matriz M, M^{-1}=\dfrac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M), onde \operatorname{adj}(M) é a transposta da matriz dos cofatores.
Calcular cofatores de A. Escrevendo A=(a_{ij}), cada cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} onde M_{ij} é o determinante do menor 2\times2 obtido tirando linha i e coluna j.
Cálculo dos menores e cofatores (mostrando conta de cada um):
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot1=0 então C_{11}=+0.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}3&1\\\ 2&1\end{pmatrix}=3\cdot1-1\cdot2=1 então C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot1=-1.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}3&1\\\ 2&1\end{pmatrix}=1 então C_{13}=+1.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1 então C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot1=-1.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot2=1 então C_{22}=+1.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot2=-1 então C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot(-1)=+1.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}=1 então C_{31}=+1.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 3&1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot3=1 então C_{32}=(-1)^{3+2}\cdot1=-1.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 3&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot3=-2 então C_{33}=+(-2)=-2.
Matriz dos cofatores:
\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & -2 \end{array}\right).
A adjunta é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right)^{T} = \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right)^{T} = \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & -2 \end{array}\right)^{T}
(para ficar explícito: a transposição troca linhas por colunas; o resultado efetivo que usamos abaixo é a transposta da matriz de cofatores mostrada).
Como \det(A)=-1, temos
A^{-1}=\frac{1}{-1}\operatorname{adj}(A)=-\operatorname{adj}(A).
Multiplicando por -1 cada entrada da adjunta obtemos
A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ -1 & -1 & 2 \end{array}\right).
(Dica de verificação: multiplicar A por A^{-1} deve dar a identidade; isso confirma que os cálculos dos cofatores foram feitos corretamente.)

Passo 5

Agora a norma infinidade de A (norma do máximo por linhas). Somar valor absoluto dos elementos de cada linha e escolher o máximo:
\begin{aligned} \text{linha 1: }&|1|+|1|+|0|=2,\\\ \text{linha 2: }&|3|+|1|+|1|=5,\\\ \text{linha 3: }&|2|+|1|+|1|=4. \end{aligned}
Assim \|A\|_{\infty}=\max\{2,5,4\}=5.

Passo 6

Passamos para B. Primeiro o determinante por Sarrus. Para
B=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)
aplicando a fórmula direta:
\begin{aligned} \det(B)&=2\cdot2\cdot1 + 0\cdot1\cdot3 + 1\cdot1\cdot2 \\\ &\quad -\big(1\cdot2\cdot3 + 0\cdot1\cdot1 + 2\cdot1\cdot2\big)\\[4pt] &=4+0+2-(6+0+4)\\\ &=6-10=-4. \end{aligned}
Como \det(B)=-4\neq 0, B é inversível.]

Passo 7

Calculando B^{-1} pelo método dos cofatores/adjunta.
Calcular cofatores de B:
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 2&1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot2=0 C_{11}=0.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 3&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot3=-2 C_{12}=(-1)^{1+2}(-2)=+2.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&2\end{pmatrix}=1\cdot2-2\cdot3=-4 C_{13}=-4.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot2=-2 C_{21}=(-1)^{2+1}(-2)=+2.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot3=-1 C_{22}=-1.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 3&2\end{pmatrix}=2\cdot2-0\cdot3=4 C_{23}=(-1)^{2+3}4=-4.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot2=-2 C_{31}=-2.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot1=1 C_{32}=(-1)^{3+2}1=-1.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 1&2\end{pmatrix}=2\cdot2-0\cdot1=4 C_{33}=4.
Matriz dos cofatores:
\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -4\\\\ 2 & -1 & -4\\\\ -2 & -1 & 4 \end{array}\right).
Adjugate (transposta):
\operatorname{adj}(B)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -2\\\\ 2 & -1 & -1\\\\ -4 & -4 & 4 \end{array}\right).
Como \det(B)=-4, temos
B^{-1}=\frac{1}{-4}\operatorname{adj}(B)=-\tfrac{1}{4}\operatorname{adj}(B).
Multiplicando cada entrada por -\tfrac{1}{4} obtemos
B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4}\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{array}\right).]

Passo 8

Norma infinidade de B: somar valores absolutos por linha:
\begin{aligned} \text{linha 1: }&|2|+|0|+|1|=3,\\\ \text{linha 2: }&|1|+|2|+|1|=4,\\\ \text{linha 3: }&|3|+|2|+|1|=6. \end{aligned}
Portanto \|B\|_{\infty}=\max\{3,4,6\}=6.

Passo 9

Agora C. Determinante de
C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right).
Usando Sarrus (ou expansão):
\begin{aligned} \det\text{(C)}&=1\cdot1\cdot1 + 2\cdot0\cdot3 + 3\cdot0\cdot2 \\\ &\quad -\big(3\cdot1\cdot3 + 2\cdot0\cdot1 + 1\cdot0\cdot2\big)\\[4pt] &=1+0+0-(9+0+0)\\\ &=1-9=-8. \end{aligned}
Como \det\text{(C)}=-8\neq0, C é inversível.]

Passo 10

Calcular C^{-1} por cofatores/adjunta.
Cofatores de C:
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot2=1 C_{11}=+1.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}0&0\\\ 3&1\end{pmatrix}=0\cdot1-0\cdot3=0 C_{12}=(-1)^{1+2}0=0.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 3&2\end{pmatrix}=0\cdot2-1\cdot3=-3 C_{13}=-3.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}2&3\\\ 2&1\end{pmatrix}=2\cdot1-3\cdot2=2-6=-4 C_{21}=(-1)^{2+1}(-4)=4.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}1&3\\\ 3&1\end{pmatrix}=1\cdot1-3\cdot3=1-9=-8 C_{22}=-8.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&2\end{pmatrix}=1\cdot2-2\cdot3=2-6=-4 C_{23}=(-1)^{2+3}(-4)=4.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&0\end{pmatrix}=2\cdot0-3\cdot1=-3 C_{31}=-3.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}1&3\\\ 0&0\end{pmatrix}=1\cdot0-3\cdot0=0 C_{32}=(-1)^{3+2}0=0.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot0=1 C_{33}=+1.
Matriz dos cofatores:
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3\\\\ 4 & -8 & 4\\\\ -3 & 0 & 1 \end{array}\right).
Adjugate (transposta):
\operatorname{adj}\text{(C)}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & -3\\\\ 0 & -8 & 0\\\\ -3 & 4 & 1 \end{array}\right).
Como \det\text{(C)}=-8, temos
C^{-1}=\frac{1}{-8}\operatorname{adj}\text{(C)}=-\tfrac{1}{8}\operatorname{adj}\text{(C)}.
Multiplicando por -\tfrac{1}{8} obtemos
C^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} -\tfrac{1}{8} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{8}\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{8} \end{array}\right).]

Passo 11

Norma infinidade de C: somas por linha:
\begin{aligned} \text{linha 1: }&|1|+|2|+|3|=6,\\\ \text{linha 2: }&|0|+|1|+|0|=1,\\\ \text{linha 3: }&|3|+|2|+|1|=6. \end{aligned}
Então \|C\|_{\infty}=\max\{6,1,6\}=6.

Resposta

A:\\ \det(A)=-1.
A é inversível.
A^{-1}=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1\\[4pt]1 & -1 & 1\\[4pt]-1 & -1 & 2\end{array}\right).
\|A\|_{\infty}=5.
B:\\ \det(B)=-4.
B é inversível.
B^{-1}=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc}0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4}\\[4pt]1 & 1 & -1\end{array}\right).
\|B\|_{\infty}=6.
C:\\ \det\text{(C)}=-8.
C é inversível.
C^{-1}=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc}-\tfrac{1}{8} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{8}\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]\tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{8}\end{array}\right).
\|C\|_{\infty}=6.]

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