Para cada uma das matrizes acima, faça o que se pede:
(a) Calcule o determinante.
(b) Verifique se a matriz é inversível.
(c) Caso seja inversível, calcule a matriz inversa.
(d) Calcule a norma induzida pela norma do máximo, isto é,
\|A\|_{\infty}=\max _{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|
Para cada matriz é pedido:
(a) calcular o determinante;
(b) verificar se a matriz é inversível;
(c) caso seja inversível, calcular a inversa;
(d) calcular a norma induzida pela norma do máximo:
Vamos primeiro lembrar uma ferramenta prática para determinantes de 3\times3: a regra de Sarrus. Para
M=\left(\begin{array}{ccc} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{array}\right)
temos
\det(M)=a e i + b f g + c d h - (c e g + b d i + a f h).
Isso é só uma forma rápida de calcular sem desenvolver por cofatores. Também é importante lembrar: uma matriz é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
Método para calcular A^{-1}: vou usar a fórmula com cofatores/adjunta porque dá conta com contas manuais claras. Para uma matriz M, M^{-1}=\dfrac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M), onde \operatorname{adj}(M) é a transposta da matriz dos cofatores.
Calcular cofatores de A. Escrevendo A=(a_{ij}), cada cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} onde M_{ij} é o determinante do menor 2\times2 obtido tirando linha i e coluna j.
Cálculo dos menores e cofatores (mostrando conta de cada um):
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot1=0 então C_{11}=+0.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}3&1\\\ 2&1\end{pmatrix}=3\cdot1-1\cdot2=1 então C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot1=-1.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}3&1\\\ 2&1\end{pmatrix}=1 então C_{13}=+1.
M_{21}=\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1 então C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot1=-1.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot2=1 então C_{22}=+1.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot2=-1 então C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot(-1)=+1.
M_{31}=\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}=1 então C_{31}=+1.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 3&1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot3=1 então C_{32}=(-1)^{3+2}\cdot1=-1.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 3&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot3=-2 então C_{33}=+(-2)=-2.