Otimização de Rendimento em um Processo Químico com o Método Quase-Newton
Em um processo de produção química, o rendimento y depende da concentração de um reagente
de acordo com a função
.
Use o método quase-Newton (BFGS) para determinar a concentração de reagente que maximiza o rendimento do processo. Compare o método quase-Newton com o método de Newton em termos de iterações e robustez, discutindo qual seria mais adequado caso a função derivada segunda não estivesse disponível.
Em um processo de produção química, o rendimento y depende da concentração de um reagente
Use o método quase-Newton (BFGS) para determinar a concentração de reagente que maximiza o rendimento do processo. Compare o método quase-Newton com o método de Newton em termos de iterações e robustez, discutindo qual seria mais adequado caso a função derivada segunda não estivesse disponível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema diz que o rendimento do nosso processo químico é
e a gente quer achar a concentração
que deixa
máxima. O conteúdo aqui é análise de otimização: derivada (para achar pontos críticos), método de Newton clássico (usa derivada segunda) e método quase-Newton (BFGS, que só usa primeira derivada e vai montando uma “aproximação” da segunda). Para resolver, a gente vai precisar:
- Calcular derivada primeira (
) e segunda ( ). - Entender como o Newton usa essas derivadas pra chegar no máximo.
- Entender como o BFGS faz a mesma coisa sem precisar de
.
Passo 2
Primeiro, a teoria básica de derivadas: para maximizar
a gente acha
tal que
e confere que
pra garantir que é máximo.
- Calculemos as derivadas:
- No método de Newton clássico a iteração é
Isso converge bem (quadraticamente) se você der sorte de começar num ponto razoável e tiver acesso a
.
Passo 3
Agora, numa linguagem de amigo, veja como rodaria cada método:
a) Método de Newton (suposição: começamos em
)
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
você refinaria e logo chegaria perto de. Em umas 3–4 iterações você “fecha” o valor.
b) Método quase-Newton (BFGS)
- Você escolhe
e uma matriz inicial de Hessiano aproximado (no caso 1D, é só um número). - Em cada iteração você faz:
i) calcula o gradiente;
ii) direção;
iii) faz um “line-search” para achar passoque aumenta ao máximo em ;
iv) atualizav) refina a aproximação do Hessiano - Em menos de 5 iterações você chega perto de
, mesmo sem nunca usar explicitamente.
Passo 4
Comparando os dois:
- Newton puro converge mais rápido (quadraticamente) se você tiver a segunda derivada exata e começar razoavelmente perto do máximo. Mas ele quebra se
for difícil de calcular ou zero no ponto inicial. - BFGS não pede
, só o gradiente, então é mais robusto (mexe só com derivada primeira e uma linha-busca). A convergência é superlinear (ligeiramente mais lenta que Newton), mas na prática falha menos e custa menos calcular nos problemas grandes.
Resposta
A concentração que maximiza o rendimento é
Entre os métodos, Newton chega um pouco mais rápido se você tiver
, mas BFGS é mais robusto e ideal quando a segunda derivada não está disponível.