Otimização de Rendimento em um Processo Químico com o Método Quase-Newton
Em um processo de produção química, o rendimento y depende da concentração de um reagente x de acordo com a função y(x)=3 x-0.1 x^wed>= 3.
Use o método quase-Newton (BFGS) para determinar a concentração de reagente que maximiza o rendimento do processo. Compare o método quase-Newton com o método de Newton em termos de iterações e robustez, discutindo qual seria mais adequado caso a função derivada segunda não estivesse disponível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que o rendimento do nosso processo químico é
y(x) ;=; 3x ;-; 0.1,x^3
e a gente quer achar a concentração que deixa máxima. O conteúdo aqui é análise de otimização: derivada (para achar pontos críticos), método de Newton clássico (usa derivada segunda) e método quase-Newton (BFGS, que só usa primeira derivada e vai montando uma “aproximação” da segunda). Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Calcular derivada primeira ( ) e segunda ( ).
  2. Entender como o Newton usa essas derivadas pra chegar no máximo.
  3. Entender como o BFGS faz a mesma coisa sem precisar de .

Passo 2

Primeiro, a teoria básica de derivadas: para maximizar y'(x) = 0 a gente acha y'(x) = ddxl(3x - 0.1x^3r) = 3 - 0.3,x^2, tal que
y''(x) = ddxl(3-0.3x^2r) = -0.6,x
e confere que xk+1 ;=; xk ;-; y'(xk)y''(xk) pra garantir que é máximo.
  1. Calculemos as derivadas:
  1. No método de Newton clássico a iteração é
Isso converge bem (quadraticamente) se você der sorte de começar num ponto razoável e tiver acesso a .

Passo 3

Agora, numa linguagem de amigo, veja como rodaria cada método:
a) Método de Newton (suposição: começamos em x1 = 2 - 1.8-1.2 = 2 + 1.5 = 3.5 )
  • Iteração 1:
    x2 = 3.5 - -0.675-2.1 approx 3.5 - 0.321 = 3.179 xk+1 = xk + alphak,pk,
  • Iteração 2:
    sk = xk+1-xk, yk = gk+1-gk Bk+1 = Bk + yk^2yk,sk - Bk,sk^2,Bksk,Bk,sk
  • Iteração 3:
    você refinaria e logo chegaria perto de . Em umas 3–4 iterações você “fecha” o valor.
b) Método quase-Newton (BFGS)
  1. Você escolhe e uma matriz inicial de Hessiano aproximado (no caso 1D, é só um número).
  2. Em cada iteração você faz:
    i) calcula o gradiente ;
    ii) direção ;
    iii) faz um “line-search” para achar passo que aumenta ao máximo em ;
    iv) atualiza v) refina a aproximação do Hessiano
  3. Em menos de 5 iterações você chega perto de , mesmo sem nunca usar explicitamente.

Passo 4

Comparando os dois:
  • Newton puro converge mais rápido (quadraticamente) se você tiver a segunda derivada exata e começar razoavelmente perto do máximo. Mas ele quebra se for difícil de calcular ou zero no ponto inicial.
  • BFGS não pede , só o gradiente, então é mais robusto (mexe só com derivada primeira e uma linha-busca). A convergência é superlinear (ligeiramente mais lenta que Newton), mas na prática falha menos e custa menos calcular nos problemas grandes.

Resposta

A concentração que maximiza o rendimento é
x^* = raiz10 approx 3.1623
Entre os métodos, Newton chega um pouco mais rápido se você tiver , mas BFGS é mais robusto e ideal quando a segunda derivada não está disponível.

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