Os modelos de crescimento populacional são importantes em muitos campos da engenharia. É fundamental, para muitos modelos, a hipótese de que a taxa de variação da população é proporcional à própria população. Neste sentido, muitos estudos, apontam que a constante de proporcionalidade , chamada de taxa de crescimento específica, é dada por
onde é a taxa máxima de crescimento atingível, é a constante de meia saturação e é quantidade de alimento disponível. Para um estudo de cinética microbial um estudante obteve empiricamente os seguintes dados
7
0.29
9
0.37
15
0.48
25
0.65
40
0.80
75
0.97
100
0.99
a) Apresente a equação acima na forma linearizada.
Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício pede: temos o modelo
onde é a taxa de crescimento, é a taxa máxima, é a constante de meia-saturação e é a quantidade de alimento. Queremos “linearizar” essa fórmula, ou seja, descobrir uma forma de escrever tudo como uma combinação linear de termos que dependem de . Para isso, vamos usar manipulações algébricas (recíproco, soma e divisão) — não tem mistério, mas passo a passo para ficar bem claro.
Passo 2
Começamos tomando o inverso dos dois lados, pois a ideia de muitos ajustes lineares (como regressão) é achar algo no formato
Então, invertendo :
Passo 3
Agora espalha o numerador sobre o denominador pra separar em dois termos:
Passo 4
Observe que . Logo:
Passo 5
Pronto! Essa é a forma linearizada, pois definindo