Os modelos de crescimento populacional são importantes em muitos campos da engenharia. É fundamental, para muitos modelos, a hipótese de que a taxa de variação da população é proporcional à própria população. Neste sentido, muitos estudos, apontam que a constante de proporcionalidade beta, chamada de taxa de crescimento específica, é dada por
beta=betamax fK+raizf
onde betamax é a taxa máxima de crescimento atingível, K é a constante de meia saturação e f é quantidade de alimento disponível. Para um estudo de cinética microbial um estudante obteve empiricamente os seguintes dados
f[mg / L] beta[dia^-1]
7 0.29
9 0.37
15 0.48
25 0.65
40 0.80
75 0.97
100 0.99
a) Apresente a equação acima na forma linearizada.

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede: temos o modelo
beta = betamax,fK + raizf,,
onde é a taxa de crescimento, é a taxa máxima, é a constante de meia-saturação e é a quantidade de alimento. Queremos “linearizar” essa fórmula, ou seja, descobrir uma forma de escrever tudo como uma combinação linear de termos que dependem de . Para isso, vamos usar manipulações algébricas (recíproco, soma e divisão) — não tem mistério, mas passo a passo para ficar bem claro.

Passo 2

Começamos tomando o inverso dos dois lados, pois a ideia de muitos ajustes lineares (como regressão) é achar algo no formato
(coefs) times (funções de f);+;dots çõ
Então, invertendo 1beta = K + raiz fbetamax,f :

Passo 3

Agora espalha o numerador sobre o denominador pra separar em dois termos:
1beta = Kbetamax,f;+;raiz fbetamax,f

Passo 4

Observe que 1beta = Kbetamax;1f ;+;1betamax;1raiz f . Logo:

Passo 5

Pronto! Essa é a forma linearizada, pois definindo
y = 1beta, x1 = 1f, x2 = 1raiz f,
vemos que
y = underbraceKbetamaxcoeficiente A,x1 ;+; underbrace1betamaxcoeficiente B,x2,
que é uma equação linear em e .

Resposta

boxed 1beta = Kbetamax,1f ;+; 1betamax,1raiz f

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