Os modelos de crescimento populacional são importantes em muitos campos da engenharia. É fundamental, para muitos modelos, a hipótese de que a taxa de variação da população é proporcional à própria população. Neste sentido, muitos estudos, apontam que a constante de proporcionalidade , chamada de taxa de crescimento específica, é dada por
onde é a taxa máxima de crescimento atingível, é a constante de meia saturação e é quantidade de alimento disponível. Para um estudo de cinética microbial um estudante obteve empiricamente os seguintes dados
7
0.29
9
0.37
15
0.48
25
0.65
40
0.80
75
0.97
100
0.99
b) Use o método dos mínimos quadrados para determinar o valor das constantes e (formato racional).
Passo 1
Blz, a questão é de regressão não-linear: a gente tem o modelo
e os dados .
O que vamos usar aqui é uma transformação que deixa o ajuste em forma de regressão linear em dois parâmetros. Precisa saber somar os dados transformados e resolver um sistema 2×2 pela fórmula de mínimos quadrados.
Passo 2
Primeiro, fazemos a mudança de variáveis:
defina
Então o modelo original
vira
ou seja
Passo 3
Agora aplicamos mínimos quadrados à regressão linear sem termo constante. As equações normais são
Passo 4
Para resolver esse sistema 2×2 usamos a fórmula de Cramer. Seja
D = sum xi^2 & sum xi ui[0.3em] sum xi ui & sum ui^2 ,
DA = sum xi yi & sum xi ui[0.3em] sum ui yi & sum ui^2 , DB = sum xi^2 & sum xi yi[0.3em] sum xi ui & sum ui yi
Então
A = DAD, B = DBD
Passo 5
Finalmente recuperamos as constantes originais:
betamax ;=;1B, K ;=;AB
Colocando tudo “em formato racional”, a gente tem:
betamax =DDB ;=; l(sum xi^2l),l(sum ui^2r);-;l(sum xi uir)^2 sum xi^2;sum ui yi ;-;sum xi ui;sum xi yi,
K =AB =DADB ;=; l(sum xi yir),l(sum ui^2r);-;l(sum xi uir),l(sum ui yir) sum xi^2;sum ui yi ;-;sum xi ui;sum xi yi,
onde as somas são tomadas para xi=1fi, ui=1raizfi, yi=1betai com
Resposta
betamax =(sum xi^2)(sum ui^2)-(sum xi ui)^2 sum xi^2sum ui yi-sum xi uisum xi yi, K =sum xi yisum ui^2-sum xi uisum ui yi sum xi^2sum ui yi-sum xi uisum xi yi