Determine o polinômio interpolador de Lagrange que passa pelos pontos (-1,2),(0,3),(1,0) e (2,-1).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio interpolador de Lagrange que passa pelos pontos
P(x)=sumi=0^n yi;Li(x), , , e .
O conteúdo aqui é “Interpolação de Lagrange” e, para resolver, vamos usar a fórmula geral
onde cada é um produto que zera nos outros e vale 1 em .

Passo 2

Teoria na prática:
Para Li(x)=prodsubstackj=0 jneq i^nx-xjxi-xj pontos P(x)=sumi=0^3 yi,Li(x) , define-se
Isso garante que se e .
Então o polinômio procurado é

Passo 3

Vamos numerar os pontos como
(x0,y0)=(-1,2), (x1,y1)=(0,3), (x2,y2)=(1,0), (x3,y3)=(2,-1)
Calculemos cada L0(x) =(x-0)(x-1)(x-2)(-1-0)(-1-1)(-1-2) =x(x-1)(x-2)-6 =-tfrac16,x(x-1)(x-2) :
  1. L1(x) =(x+1)(x-1)(x-2)(0+1)(0-1)(0-2) =(x+1)(x-1)(x-2)2 =tfrac12,(x+1)(x-1)(x-2) com L2(x) =(x+1)x(x-2)(1+1)(1-0)(1-2) =(x+1)x(x-2)-2 =-tfrac12,(x+1)x(x-2) :
L3(x) =(x+1)x(x-1)(2+1)(2-0)(2-1) =(x+1)x(x-1)6 =tfrac16,(x+1)x(x-1)
Termo
  1. com :
Termo
  1. com :
Termo
  1. com :
Termo

Passo 4

Agora somamos tudo:
P(x) =-tfrac13,x(x-1)(x-2) +tfrac32,(x+1)(x-1)(x-2) -tfrac16,(x+1)x(x-1)
Expandindo e juntando termos (ou conferindo nos pontos), obtemos
P(x)=x^3-2x^2-2x+3

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange é
boxedP(x)=x^3-2x^2-2x+3

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