Mediu-se o valor de uma função
nos instantes
e
, obtendo-se respectivamente os valores
e
. Sabendo que
é da forma
, utilize o método dos mínimos quadrados para estimar os valores de
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que mediram a função nos instantes
x=0,1,2,3 e obtiveram f(0)=0.6, f(1)=4.7, f(2)=40, f(3)=365.
Sabemos que f(x)=a·3^(b x) e queremos estimar a e b via mínimos quadrados.
Para isso vamos:
x=0,1,2,3 e obtiveram f(0)=0.6, f(1)=4.7, f(2)=40, f(3)=365.
Sabemos que f(x)=a·3^(b x) e queremos estimar a e b via mínimos quadrados.
Para isso vamos:
- linearizar a expressão com log,
- tratar como um ajuste de reta Y=A+Bx,
- usar as fórmulas de regressão linear (coeficiente angular e linear).
Passo 2
Aplicando ln nos dois lados:
Definimos
então vira a reta
Passo 3
Calcula os pares (x_i,Y_i) e as somas necessárias:
x_i: 0, 1, 2, 3
Y_i=ln(f_i):
x_i: 0, 1, 2, 3
Y_i=ln(f_i):
- Y_0=ln(0.6)≈−0.5108
- Y_1=ln(4.7)≈1.5476
- Y_2=ln(40)≈3.6889
- Y_3=ln(365)≈5.8999
Agora:
∑x_i = 0+1+2+3 = 6
∑Y_i ≈ −0.5108+1.5476+3.6889+5.8999 = 10.6256
∑x_iY_i ≈ 0·(−0.5108)+1·1.5476+2·3.6889+3·5.8999 = 26.6251
∑x_i² = 0²+1²+2²+3² = 14
n = 4
∑x_i = 0+1+2+3 = 6
∑Y_i ≈ −0.5108+1.5476+3.6889+5.8999 = 10.6256
∑x_iY_i ≈ 0·(−0.5108)+1·1.5476+2·3.6889+3·5.8999 = 26.6251
∑x_i² = 0²+1²+2²+3² = 14
n = 4
Passo 4
Coeficiente angular B:
Passo 5
Coeficiente linear A:
Passo 6
Volta pra a e b:
Resposta
a ≈ 0.577
b ≈ 1.946
b ≈ 1.946