Mediu-se o valor de uma função f nos instantes 0, 1, 2 e 3, obtendo-se respectivamente os valores 0.6, 4.7, 40 e 365. Sabendo que f(x) é da forma f(x)=a 3^b x, utilize o método dos mínimos quadrados para estimar os valores de a e b.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que mediram a função nos instantes
x=0,1,2,3 e obtiveram f(0)=0.6, f(1)=4.7, f(2)=40, f(3)=365.
Sabemos que f(x)=a·3^(b x) e queremos estimar a e b via mínimos quadrados.
Para isso vamos:
  1. linearizar a expressão com log,
  2. tratar como um ajuste de reta Y=A+Bx,
  3. usar as fórmulas de regressão linear (coeficiente angular e linear).

Passo 2

Aplicando ln nos dois lados:
f(x)=a,3^bximplies ln f(x)=ln a + bx,ln 3,
Definimos
Y=ln f(x), A=ln a, B=b,ln3,
então vira a reta
Y = A + B,x,

Passo 3

Calcula os pares (x_i,Y_i) e as somas necessárias:
x_i: 0, 1, 2, 3
Y_i=ln(f_i):
  • Y_0=ln(0.6)≈−0.5108
  • Y_1=ln(4.7)≈1.5476
  • Y_2=ln(40)≈3.6889
  • Y_3=ln(365)≈5.8999
Agora:
∑x_i = 0+1+2+3 = 6
∑Y_i ≈ −0.5108+1.5476+3.6889+5.8999 = 10.6256
∑x_iY_i ≈ 0·(−0.5108)+1·1.5476+2·3.6889+3·5.8999 = 26.6251
∑x_i² = 0²+1²+2²+3² = 14
n = 4

Passo 4

Coeficiente angular B:
B = nsum xiYi - (sum xi)(sum Yi),nsum xi^2 -(sum xi)^2, = 4·26.6251 - 6·10.62564·14 - 6^2 = 106.5004 - 63.753656 - 36 = 42.746820 approx 2.1373,

Passo 5

Coeficiente linear A:
A = sum Yi - B,sum xin = 10.6256 - 2.1373·64 = 10.6256 - 12.82384 = -2.19824 approx -0.5496,

Passo 6

Volta pra a e b:
A=ln aimplies a = e^Aapprox e^-0.5496approx 0.577,,
B=b,ln3implies b = Bln3approx 2.13731.0986approx 1.9456,

Resposta

a ≈ 0.577
b ≈ 1.946

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