É dada uma função contínua f, de período 4, linear em cada intervalo [i, i+1], i in Z, tal que f(-2)=f(2)=1, f(-1)=f(1)=0 e f(0)=2. Faça a análise harmônica de f até os harmônicos de ordem 2.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a gente tem uma função f(-2)=f(2)=1, f(-1)=f(1)=0, f(0)=2 de período , contínua e linear em cada intervalo (com inteiro), e com esses valores nos inteiros:
Pede para fazer a análise harmônica (isto é, a Série de Fourier) até os harmônicos de ordem 2.
Conteúdo: Série de Fourier de função periódica, usando a fórmula dos coeficientes e . A gente vai usar também a simetria (é função par), então sobra só cosseno.

Passo 2

Primeiro, a Série de Fourier de período f(x)=a0+sumn=1^inftyl(ancos(nomega0 x)+bnsin(nomega0 x)r), é
a0=1Tintegral0^Tf(x),dx, an=2Tintegral0^Tf(x)cos(nomega0 x),dx, bn=2Tintegral0^Tf(x)sin(nomega0 x),dx
onde .
Os coeficientes são
Como é par ( ), todos os são zero. Além disso, por simetria em torno de dá pra reduzir integrais de a para duas vezes de a .

Passo 3

Vamos achar a fórmula de f(x)=2-2x, 0<= x<=1 no pedaço f(x)=x-1, 1<= x<=2 .
  • Em ela vai de até , então é reta de coeficiente angular .
  • Em vai de até , coeficiente :

Passo 4

Coeficiente constante a0=14integral0^4f(x),dx =14cdot 2integral0^2f(x),dx =12integral0^2f(x),dx :
integral0^2f(x),dx =integral0^1(2-2x),dx+integral1^2(x-1),dx =l[2x-x^2r]0^1+l[tfrac(x-1)^22r]1^2 =(2-1)+tfrac12=1+tfrac12=tfrac32
Calculando
a0=12cdottfrac32=34
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Passo 5

Agora a1=24integral0^4f(x)cos!l(tfracpi2xr),dx =integral0^2f(x)cos!l(tfracpi2xr),dx =integral0^1(2-2x)cos!tfracpi x2,dx +integral1^2(x-1)cos!tfracpi x2,dx :
I1=integral0^1(2-2x)cos!tfracpi x2dx, I2=integral1^2(x-1)cos!tfracpi x2dx,
Chamando
I1=8pi^2, I2=-4pi^2,
fazendo integração por partes em cada um e usando a1=I1+I2=8pi^2-4pi^2=4pi^2 , dá
então

Passo 6

Para a2=integral0^2f(x)cos(pi x),dx =integral0^1(2-2x)cos(pi x),dx +integral1^2(x-1)cos(pi x),dx (mesma lógica, agora com a2=6pi^2 ):
Fazendo as integrais por partes e usando , , chega-se a
E como é par,

Resposta

A Série de Fourier até o segundo harmônico fica
boxed% f(x)approx 34 ;+;4pi^2cos!l(tfracpi2xr) ;+;6pi^2cos(pi x), b1=b2=0

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