É dada uma função contínua
, de período 4, linear em cada intervalo
, tal que
e
. Faça a análise harmônica de
até os harmônicos de ordem 2.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que a gente tem uma função
de período
, contínua e linear em cada intervalo
(com
inteiro), e com esses valores nos inteiros:
Pede para fazer a análise harmônica (isto é, a Série de Fourier) até os harmônicos de ordem 2.
Conteúdo: Série de Fourier de função periódica, usando a fórmula dos coeficientes e
. A gente vai usar também a simetria (é função par), então sobra só cosseno.
Conteúdo: Série de Fourier de função periódica, usando a fórmula dos coeficientes
Passo 2
Primeiro, a Série de Fourier de período
é
onde
.
Os coeficientes são
Os coeficientes são
Como
é par (
), todos os
são zero. Além disso, por simetria em torno de
dá pra reduzir integrais de
a
para duas vezes de
a
.
Passo 3
Vamos achar a fórmula de
no pedaço
.
- Em
ela vai de até , então é reta de coeficiente angular . - Em
vai de até , coeficiente :
Passo 4
Coeficiente constante
:
Calculando
Logo
Passo 5
Agora
:
Chamando
fazendo integração por partes em cada um e usando
, dá
então
Passo 6
Para
(mesma lógica, agora com
):
Fazendo as integrais por partes e usando
,
, chega-se a
E como
é par,
Resposta
A Série de Fourier até o segundo harmônico fica