Determine os termos gerais da Análise Harmônica da função
periódica
dada por:
para
e
para
e
, onde
. Como eles se comportam quando
?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os coeficientes da série de Fourier (análise harmônica) de uma função periódica de período
que vale
e estudar o que acontece quando
epsilonto0 .
Matéria: séries de Fourier de funções2pi -periódicas.
O que vamos usar: fórmulas dos coeficientes
Matéria: séries de Fourier de funções
O que vamos usar: fórmulas dos coeficientes
e também
a0=1piintegral-pi^piphiepsilon(x),dx .
Passo 2
Primeiro, como
phiepsilon(x) só é não-nula em
[-epsilon/2,epsilon/2] , podemos limitar todas as integrais a esse intervalo. Isso simplifica o cálculo porque fora dele a função vale zero.
Passo 3
Calcular o termo
a0 :
Passo 4
Calcular
an para
n>=1 :
Passo 5
Calcular
bn para
n>=1 :
porque
cos é função par e o numerador zera.
Passo 6
Estudar o limite
epsilonto0 . Para
n>=1 , use
sin zapprox z quando
zto0 :
E
bn=0 para todo
epsilon . Já vimos que
a0=1/pi não depende de
epsilon .
Resposta
Os coeficientes da série de Fourier de
phiepsilon são
Quando
epsilonto0 , então
anto1/pi e
bnto0, .