Determine os termos gerais da Análise Harmônica da função 2pi periódica phiepsilon dada por: phiepsilon(x)=1 / epsilon para x in[-epsilon / 2, epsilon / 2] e phiepsilon(x)=0 para x in[-pi,-epsilon / 2[ e x in]epsilon / 2, pi], onde epsilon<1. Como eles se comportam quando epsilon 0?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os coeficientes da série de Fourier (análise harmônica) de uma função periódica de período 2pi que vale
phiepsilon(x)= 1epsilon, & xinl[-tfracepsilon2,tfracepsilon2r],[6pt] 0, & caso contrário em [-pi,pi], á
e estudar o que acontece quando epsilonto0.
Matéria: séries de Fourier de funções 2pi-periódicas.
O que vamos usar: fórmulas dos coeficientes
an=1piintegral-pi^piphiepsilon(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^piphiepsilon(x)sin(nx),dx,
e também a0=1piintegral-pi^piphiepsilon(x),dx.

Passo 2

Primeiro, como phiepsilon(x) só é não-nula em [-epsilon/2,epsilon/2], podemos limitar todas as integrais a esse intervalo. Isso simplifica o cálculo porque fora dele a função vale zero.

Passo 3

Calcular o termo a0:
a0=1piintegral-pi^piphiepsilon(x),dx =1piintegral-epsilon/2^epsilon/21epsilon,dx =1picdot1epsiloncdotl[epsilonr] =1pi

Passo 4

Calcular an para n>=1:
an =1piintegral-epsilon/2^epsilon/21epsiloncos(nx),dx =1 piepsilonl[sin(nx)nr]-epsilon/2^epsilon/2 =1piepsiloncdot2sinl(nepsilon/2r)n =2pi,n,epsilon,sin!l(tfracnepsilon2r)

Passo 5

Calcular bn para n>=1:
bn =1piintegral-epsilon/2^epsilon/21epsilonsin(nx),dx =1piepsilonl[-cos(nx)nr]-epsilon/2^epsilon/2 =1piepsilon;cos(nepsilon/2)-cos(-nepsilon/2)n =0,
porque cos é função par e o numerador zera.

Passo 6

Estudar o limite epsilonto0. Para n>=1, use sin zapprox z quando zto0:
an =2pi,n,epsilon,sin!l(tfracnepsilon2r) ;xrightarrow[epsilonto0]; 2pi,n,epsiloncdotnepsilon2 =1pi
E bn=0 para todo epsilon. Já vimos que a0=1/pi não depende de epsilon.

Resposta

Os coeficientes da série de Fourier de phiepsilon são
a0=1pi, an=2pi,n,epsilon,sin!l(tfracnepsilon2r), bn=0
Quando epsilonto0, então anto1/pi e bnto0,.

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