Por meio da eliminação gaussiana, mostre que os sistemas abaixo não têm solução única. Tente concluir, em cada um, se há infinitas ou nenhuma solução.
cx1+x2+x3=4 2 x1+2 x2+x3=4 x1+x2+2 x3=6
(Note que o lado esquerdo do sistema é igual nos dois itens, seria possível aproveitar em (b) a eliminação já realizada em (a)? Como?)

Passo 1

Beleza, a questão pede pra usar eliminação de Gauss no sistema
x1+x2+x3=4 2x1+2x2+x3=4 x1+x2+2x3=6
O conteúdo é sistemas lineares e operações elementares de linha (escalonamento). Vamos montar a matriz aumentada e ir “zerando” abaixo dos pivôs até ver se sobra algo estranho (contradição) ou variável livre.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada:
A ideia da teoria de Gauss é usar operações do tipo “linha i ← linha i − (k × linha j)” pra criar zeros abaixo dos pivôs (elementos da diagonal principal).

Passo 3

Eliminação do primeiro pivô (na coluna 1):
– R₂ ← R₂ − 2·R₁:
(2,2,1|4) -2,(1,1,1|4) = (0,0,-1|-4)
– R₃ ← R₃ − 1·R₁:
(1,1,2|6) - (1,1,1|4) = (0,0,1|2)
Fica:

Passo 4

Agora vemos que não há pivô na coluna 2 (ambos zero), então pulamos pra coluna 3 como nosso “próximo pivô”. Para limpar abaixo, fazemos:
– R₃ ← R₃ + R₂:
(0,0,1|2) + (0,0,-1|-4) = (0,0,0|-2)
Isso nos dá a linha
0,x1 + 0,x2 + 0,x3 = -2,
que é uma contradição (0 = −2). Pelo teorema de Rouché–Capelli, sistema inconsistente → nenhuma solução.

Passo 5

Sobre o item (b): como a matriz de coeficientes (o “lado esquerdo”) é a mesma, você não precisa refazer todos os passos de eliminação. Basta aplicar exatamente as mesmas operações de linha que usamos em (a) na nova coluna de constantes de (b). Isso já te dá o escalonamento “de graça” pra decidir se é inconsistente ou tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema não tem solução (inconsistente).

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