Seja A=[ccc1 & 3 & 2 -2 & -6 & -4 3 & 9 & 6]. Mostre que A possui fatoração L U, mas que essa fatoração não é única. (Satisfazendo Li i=1.)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos
A= 1 & 3 & 2 -2 & -6 & -4 3 & 9 & 6
e pede para mostrar que dá para escrever com triangular inferior (com 1 na diagonal) e triangular superior, mas que essa escrita não é única.
Conteúdo: fatoração LU e eliminação de Gauss. Vamos precisar entender como escolhemos pivôs, como definimos multiplicadores (os ) e por que, quando um pivô vira zero, sobra “graça” para mexer na fatoração.

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss sem trocar linhas, primeiro pivô é L21=a21a11=-21=-2, L31=a31a11=31=3 .
– Multiplicador para zerar embaixo:
U= 1 & 3 & 2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Agora “eliminamos”:
linha 2 ← linha 2 − ·linha 1 ⟹ vira toda zero
linha 3 ← linha 3 − ·linha 1 ⟹ também toda zero
Então a matriz que sobra é

Passo 3

Como escolhemos L= 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 3 & 0 & 1 e deixamos L,U = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 3 & 0 & 1 1 & 3 & 2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 1 & 3 & 2 -2 & -6 & -4 3 & 9 & 6 = A , o “natural” é

Aí conferimos rapidamente que
[
L,U
=


= A.
]

Passo 4

Agora, por que não é única? Repare que o segundo pivô a32 = L31U12 + L32U22 = 3cdot3 + L32cdot 0 = 9, saiu zero. Isso faz com que, na segunda rodada, o multiplicador L(ell)= 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 3 & ell & 1 , U= 1 & 3 & 2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 não seja forçado por nenhuma equação de eliminação (porque , as equações ficam do tipo
que dá sempre 9, sem fixar ). O mesmo vale para determinar , que sai zero mas não puxa . Logo, podemos escolher qualquer e definir
Dá sempre e, como é livre, a fatoração não é única.

Resposta

Uma fatoração possível é
L= 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 3 & 0 & 1 , U= 1 & 3 & 2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
mas, como o pivô , podemos variar à vontade (por exemplo tomar ) e ainda ter . Portanto a fatoração LU com existe, mas não é única.

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