Resolva o sistema abaixo por meio de Eliminação Gaussiana.
2 x+2 y+z+w & =7 x-y+2 z-w & =1 3 x+2 y-3 z-2 w & =4 4 x+3 y+2 z+w & =12
Sem resolver o sistema, era possível determinar que a Eliminação poderia ter sido feita sem a necessidade de troca de linhas?

Passo 1

Tranquilo, então o enunciado pede para resolver o sistema
2x+2y+z+w=7 x-y+2z-w=1 3x+2y-3z-2w=4 4x+3y+2z+w=12
usando Eliminação de Gauss. Essa matéria envolve montar a matriz aumentada, usar operações elementares de linha (troca, escala e soma de linhas) para deixar tudo em forma triangular e depois voltar substituindo. Vamos precisar conhecer bem essas operações e como escolher pivôs (os elementos principais) sem que eles sejam zero.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada
[cccc|c 2 & 2 & 1 & 1 & 7 1 & -1 & 2 & -1 & 1 3 & 2 & -3 & -2 & 4 4 & 3 & 2 & 1 & 12 ]
e vamos usar o pivô 2 (primeiro elemento da primeira linha). Queremos zerar as entradas abaixo dele na coluna 1, ou seja, em (2,1),(3,1),(4,1). Fazemos:
  • L2 L2-tfrac12L1,
  • L3 L3-tfrac32L1,
  • L4 L4-2,L1.
    Depois dessas somas de linhas, a matriz fica
[cccc|c 2 & 2 & 1 & 1 & 7 0 & -2 & tfrac32 & -tfrac32 & -tfrac52 0 & -1 & -tfrac92 & -tfrac72 & -tfrac132 0 & -1 & 0 & -1 & -2 ]

Passo 3

Agora o pivô é -2 (na posição (2,2)). A teoria diz: use esse pivô para zerar abaixo dele na coluna 2. Calculamos o fator tfrac-1-2=tfrac12 e fazemos
  • L3 L3-tfrac12L2,
  • L4 L4-tfrac12L2.
    Isso transforma a matriz em
[cccc|c 2 & 2 & 1 & 1 & 7 0 & -2 & tfrac32 & -tfrac32 & -tfrac52 0 & 0 & -tfrac214 & -tfrac114 & -tfrac214 0 & 0 & -tfrac34 & -tfrac14 & -tfrac34 ]

Passo 4

O terceiro pivô é -tfrac214 (posição (3,3)). Para zerar a entrada abaixo, usamos o fator
-tfrac34-tfrac214=-3/4-21/4=13,17=17
e fazemos L4 L4-tfrac17L3. A quarta linha vira
[,0;0;0;tfrac17mid 0,],
ou seja tfrac17,w=0implies w=0.
Em seguida, retro-substituímos:
  • Na linha 3: -tfrac214,z-tfrac114,w=-tfrac214implies z=1.
  • Na linha 2: -2y+tfrac32,z-tfrac32,w=-tfrac52implies -2y+1.5=-2.5implies y=2.
  • Na linha 1: 2x+2y+z+w=7implies 2x+4+1+0=7implies x=1.

Resposta

A solução do sistema é
(x,y,z,w)=(1,2,1,0)
E sim, sem fazer o cálculo completo dava para saber que não precisaríamos trocar linhas: todos os pivôs (os menores principais da matriz dos coeficientes) são diferentes de zero, garantindo que nenhum passo de eliminação vai soar um zero na posição de pivô.

Exercícios relacionados