usando Eliminação de Gauss. Essa matéria envolve montar a matriz aumentada, usar operações elementares de linha (troca, escala e soma de linhas) para deixar tudo em forma triangular e depois voltar substituindo. Vamos precisar conhecer bem essas operações e como escolher pivôs (os elementos principais) sem que eles sejam zero.
e vamos usar o pivô 2 (primeiro elemento da primeira linha). Queremos zerar as entradas abaixo dele na coluna 1, ou seja, em (2,1),(3,1),(4,1). Fazemos:
L2 L2-tfrac12L1,
L3 L3-tfrac32L1,
L4 L4-2,L1.
Depois dessas somas de linhas, a matriz fica
O terceiro pivô é -tfrac214 (posição (3,3)). Para zerar a entrada abaixo, usamos o fator
-tfrac34-tfrac214=-3/4-21/4=13,17=17
e fazemos L4 L4-tfrac17L3. A quarta linha vira
[,0;0;0;tfrac17mid 0,],
ou seja tfrac17,w=0implies w=0.
Em seguida, retro-substituímos:
Na linha 3: -tfrac214,z-tfrac114,w=-tfrac214implies z=1.
Na linha 2: -2y+tfrac32,z-tfrac32,w=-tfrac52implies -2y+1.5=-2.5implies y=2.
Na linha 1: 2x+2y+z+w=7implies 2x+4+1+0=7implies x=1.
Resposta
A solução do sistema é
(x,y,z,w)=(1,2,1,0)
E sim, sem fazer o cálculo completo dava para saber que não precisaríamos trocar linhas: todos os pivôs (os menores principais da matriz dos coeficientes) são diferentes de zero, garantindo que nenhum passo de eliminação vai soar um zero na posição de pivô.