De ao menos um contraexemplo para as seguintes conjecturas:
Todo triângulo tem 3 ângulos internos iguais a 60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado propõe a conjectura “Todo triângulo tem 3 ângulos internos iguais a 60^\circ”. Isso envolve geometria euclidiana de triângulos e a propriedade dos seus ângulos internos.

Passo 2

Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é
\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ.
Um triângulo em que \alpha=\beta=\gamma é equilátero e tem cada ângulo igual a 180^\circ/3=60^\circ. Mas há triângulos não equiláteros em que os ângulos são diferentes.

Passo 3

Um contraexemplo simples é o triângulo isósceles retângulo, cujos ângulos internos são
90^\circ,\quad 45^\circ,\quad 45^\circ.

Passo 4

Verificando a soma:
90^\circ + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ,
logo é um triângulo válido, mas nem todos os ângulos são 60^\circ. Isso contradiz a conjectura.

Resposta

Um triângulo isósceles retângulo com ângulos internos de 90^\circ, 45^\circ e 45^\circ.

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